Вычисление композиции бинарных отношений в матричной форме
Логическое умножение матриц
Пример вычисления степенного ряда
Отношение достижимости
(x, y) 1 (x, y) 2 (x, y) 3 …
Достижимость по s на
={(x, y) | x & y & x<y}
x<y (x, y) 
Пример (2<4):
(s(1), s(s(1))) s & (s(s(1)), s(s(s(1)))) s (s(1), s(s(s(1)))) sos (s(1), s(s(s(1)))) 
Еще о конечных множествах
Kx = { y | y & ((y, x) ŝ (x=y)) }
«множество A имеет n элементов»:
A~Kn
(множество A эквивалентно множеству Kn)
Отношения эквивалентности
Диагональное отношение множества A
A = {(x, x) | x A}
- эквивалентность на множестве A ( A & -1 = & )
Классы эквивалентности
Если это эквивалентность, то
[x] = {y | (x, y) } = {y | (y, x) }
Свойства классов эквивалентности
Каждый элемент принадлежит своему классу эквивалентности
x A x [x] A x A (x, x) x A x [x]
Каждый элемент из класса образует в точности тот же самый класс
y [x] [y] = [x] |
y [x] (y, x) & (x, y) |
|
|
[y] [x] |
z [y] z [x] |
(z, y) & (y, x)
(z, x) z [x] Аналогично покажем [x] [y]
Каждый класс эквивалентности представляет собой в точности множество всех своих образующих элементов
Два класса либо не имеют общих элементов, либо полностью совпадают
x A y A ([x] [y] = ) ( [x] = [y] ) ([x] [y] ) ([x] = [y] ) ([x] [y] ) ([x] [y] = )
Разбиение множества на классы эквивалентности
= { [x] | x A }
Пример: A = {{x, y, z}, {u, v}}
разбиением некоторого множества A
называют семейство множеств (множество S из множеств C), таких, что они
•не пустые
•в объединении покрывают всё множество A
•попарно либо не пересекаются, либо полностью совпадают
( C S C ) &
& ( C1 S C2 S ((C1 C2= ) (C1=C2)))