Использование диаграмм Венна для проверки эквивалентности формул логики высказываний и теоретико-множествненных формул
|
A |
|
|
|
100 |
000 |
|
110 |
|
101 |
A (B C) = (A B) (A C) |
|
111 |
|
|
|
|
|
|
010 |
|
001 |
|
B |
011 |
C |
|
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
A |
|
|
100 |
000 |
|
100 |
000 |
|
100 |
000 |
110 |
|
101 |
110 |
|
101 |
110 |
|
101 |
|
111 |
|
|
111 |
|
|
111 |
|
010 |
|
001 |
010 |
|
001 |
010 |
|
001 |
B |
011 |
C |
B |
011 |
C |
B |
011 |
C |
|
|
|
Еще о кванторах и некоторые дополнительные обозначения
x P(x) = |
|
P(x) |
(&( P(x))) |
= ( x ( P(x))) |
x U |
= |
x U |
|
|
|
|
|
Пересечения и объединения по семейству множеств
B = { x |
B S B (B S & x B) }
B = { x | B (B S → x B) }
B S
=i |
|
|
B |
B |
B =f(i) |
i N |
B {A | i (i N & A Bi )} |
|
|
|
i |
Бинарные предикаты, бинарные отношения и структурированные (составные) объекты
= { (x, y) | P(x, y) }
Здесь P – бинарный предикат, - бинарное отношение (множество из упорядоченных пар), (x, y) – подстановочный символ для представления упорядоченной пары, рассматриваемой как структурированный объект.
прямое произведение множеств А B = { (x, y) | x A & y B }
Бинарное отношение на предметной области |
U U |
Бинарное отношение между множествами A и B |
A B |
Бинарное отношение на множестве A |
A A |
Представление бинарных отношений диаграммами ориентированных графов
A A
(x, y)
|
A |
|
B |
A B |
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
Инфиксная форма записи формул (высказываний) с бинарными отношениями
x y = ((x, y) )= { (x, y) | x y }
Примеры
– отношение принадлежности между элементами и множествами некоторой предметной области. Множество всех подмножеств или булеан некоторого подмножества обозначается как (A) = {X | X A}. Принадлежность можно рассматривать как бинарное отношение между U и (U).
и = – отношения включения и равенства множеств как отношения на (U).
и – отношения логического следования и логической равносильности на множестве всех возможных высказываний математической логики вообще либо некоторого множества формул
Символ = использовался тремя различными способами:
1.Для задания определений, например A B = { x | x A & x B }.
2.Для обозначения отношения равенства логических значений высказываний (общезначимость логической эквивалентности), например, u v = ( u & v).
3.Для обозначения отношения равенства множеств, например, (A = B) (x A x B) .
Что имеется ввиду под равенством элементов множеств?
равенство элементов множеств есть некоторое бинарное отношение на предметной области.
Допустим, инфиксному символу = для обозначения этого отношения соответствует множество = { (x, y) | x = y }.
Бинарный предикат E, определяющий это отношение как множество пар= { (x, y) | E(x, y) } удовлетворяет следующим условиям:
|
Требования к отношению равенства |
|
1. x E(x, x) |
Рефлексивность |
|
2. |
x y (E(x, y) → E(y, x)) |
Симметричность |
2. |
x y z ((E(x, y)& E(y, z)) → E(x, z)) |
Транзитивность |
В терминах множеств упорядоченных пар эти свойства могут быть записаны так:
2. x ( (x, x) )
2. x y ((x, y) → (y, x) )
2.x y z (( (x, y) & (y, z) ) → (x, z) )
Винфиксной форме:
x (x = x)
x y ((x = y) → (y= x))
x y z (( (x = y) & (y = z) )
→ (x = z) )
Задание множеств перечислением элементов
A = { a, b, c }
рассмотрим как сокращенную форму от задания множества предикатом
A = { x | x=a x=b x=c }
Пример: область логических значений как множество
= { 0, 1 }.
При этом на равенство это связка ↔
Ее список пар это {(0,0), (1,1)} ↔ = {(x,y) | (x,y)=(0,0) (x,y)=(1,1)}
Вообще равенство пар определи так: ( (x, y) = (p, q) ) ( (x=p) & (y=q) )
Еще пример бинарного отношения
множество чисел A={1,2,3} с отношением ≤ (меньше или равно)
1≤1, 1≤2, 1≤3, 2≤2, 2≤3, 3≤3
= { (x, y) | x≤y } = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) }