Учебные материалы ИКНТ 1-8 семестры / 3 семестр / Прикл_матем / Аксёнов А.П. Математический анализ. (Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы

δ1 > 0 такое, что

как только

y − y0

< δ1 и

y [c, d], так

сейчас

же:

α( y) − γ < 0 , β( y) − γ > 0 , т. е. α( y) < γ <β( y) .

Возьмем y из промежутка [c, d] любое, но такое, чтобы было

y − y0

< δ1 ,

и положим p = max{α( y),α( y0 )}; q = min{β( y0 ),β( y)}. Ясно,

что p < q.

Имеем:

β( y0 )

p

q

β( y0 )

I( y0 ) = ∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ,

α( y0 )

α( y0 )

p

q

β( y )

p

q

β( y )

I( y) = ∫ f ( x, y) dx = ∫ f ( x, y) dx + ∫ f ( x, y) dx + ∫ f ( x, y) dx .

α( y )

α( y )

p

q

равны нулю (так как обязательно: либо

p =α( y0 ) , либо

p = α( y) , и либо

q =β( y0 ) , либо q = β( y)).

Возьмем ε > 0 – любое, сколь угодно малое. Так как α( y)

и β( y) непре-

рывны в точке

y0 , то взятому ε > 0 отвечает δ2 > 0 такое,

что как только

y − y0

< δ2 и

y [c, d], так сейчас же

α( y) −α( y0 )

< ε,

β( y) −β( y0 )

< ε.

p

p

β( y )

p

β( y0 )

+ ∫ f ( x, y) dx + ∫ f ( x, y) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx .

α( y )

q

α( y0 )

q

p

Рассмотрим, например,

∫ f ( x, y0 ) dx . По условию

f ( x, y) C(

)

D

f ( x, y) ограниченная

α( y0 )

M > 0 такое,

в (

),

т. е. существует

число

что

D

f ( x, y)

≤ M всюду в

(

).

Так как y [c, d] и

y − y0

< min{δ1,δ2},

то

D

p

p −α( y0 )

< ε. Следовательно,

∫ f ( x, y0 ) dx ≤ M

p −α( y0 )

< M ε.

p

Так как (

) – ограниченное замкнутое множество и f ( x, y) C(

) , то

D

D

f ( x, y) равномерно

непрерывная

в (

). А

тогда взятому ε > 0 отвечает

D

δ3 > 0,

зависящее только от

ε, такое,

что для любых

двух точек ( x′, y′) ,

( x′′, y′′)

из

(

),

для

которых

x′′ − x′

< δ3 ,

y′′ − y′

< δ3 ,

будет

D

f ( x′′, y′′) − f ( x′, y′)

< ε. Положим δ =

min{δ1,

δ2 ,δ3},

y′ = y0 ,

y′′ = y , где

y [c, d] и удовлетворяет условию

y − y0

< δ;

x′ = x′′ = x , где x

– любое из

[ p, q]. Тогда

f ( x, y) − f ( x, y0 )

< ε для всех x [ p, q]. Следовательно, для y ,

удовлетворяющих

условиям

y − y0

< δ

и

y [c, d],

будет:

q

[c, d] существует число K > 0 такое, что

α( y)

≤ K ,

β( y)

≤ K для всех

y [c, d]. А тогда

q − p

≤

q

+

p

≤ 2K . Значит,

I( y) − I( y0 )

< 2ε ( K + M ).

(2)

y − y0

< δ, y [c, d], то заключаем, что функция I( y) непрерывна в точке y0 .

2. Пусть α( y0 ) =β( y0 ) .

β( y0 )

β( y )

В этом случае I( y0 ) =

∫ f ( x, y0 ) dx = 0 ;

I( y) =

∫ f ( x, y) dx

α( y0 )

]

α( y )

[

I( y)

≤ M β( y) −α( y) .

(3)

Имеем

lim [β( y) −α( y)]=β( y0 ) −α( y0 ) = 0.

А

тогда

из

(3)

y→y0

lim I( y) = 0 [= I( y0 )].

Видим, что и в этом случае установлена непрерыв-

y→y0

ность I( y) в точке y0 .

I( y) C([c, d]).

У нас y0 – любое из [c, d]. Следовательно,

f ( x, y)

Теорема (о дифференцировании по параметру). Пусть функция

непрерывна в (

) и имеет там непрерывную частную производную

f y′( x, y) .

D

β( y )

изводные α′( y),

β′( y) . Пусть I( y) = ∫ f ( x, y) dx , y [c, d]. Тогда для любо-

α( y )

го y [c, d] существует I′( y) , причем

β( y )

I′( y) =

∫ f y′( x, y) dx + f (β( y), y) β′( y) − f (α( y), y) α′( y) .

(4)

бого

y uδ ( y0 )

будет: α( y) < γ <β( y) . Дадим y0 приращение ∆y

– любое,

1

∆y ≠ 0 и y0

+ ∆y uδ ( y0 ) .

но такое, что

Будем иметь,

следовательно,

α( y

0

+ ∆y) < γ <β( y

0

+ ∆y) .

1

{

0

),α( y

0

}

Положим

p = max α( y

+ ∆y) ;

β( y0 )

β( y0

+∆y )

I( y0 ) = ∫ f ( x, y0 ) dx,

I( y0 + ∆y) = ∫ f ( x, y0 + ∆y) dx =

α( y0 )

α( y0 +∆y )

α( y0 )

β( y0 )

β( y0 +∆y )

= ∫ f ( x, y0 + ∆y) dx + ∫

f ( x, y0 + ∆y) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆y) dx .

α( y0 +∆y )

α( y0 )

β( y0 )

А тогда

I( y0 + ∆y) − I( y0 ) =

β( y0 )

β( y0 +∆y )

α( y0 +∆y )

= ∫[f ( x, y0 +∆y) − f ( x, y0 )]dx + ∫ f ( x, y0 +∆y) dx − ∫ f ( x, y0 +∆y) dx .

α( y0 )

β( y0 )

α( y0 )

По теореме Лагранжа

f ( x, y0 + ∆y) − f ( x, y0 ) = f y′( x, y0 +θ∆y) ∆y . По част-

где c1 [β( y0 ),β( y0 + ∆y)]

c1 →β( y0 ) , если ∆y → 0 ;

α( y0

+∆y )

∫ f ( x, y0 + ∆y) dx = f (c2 , y0 + ∆y) [α( y0 + ∆y) −α( y0 )],

α( y0 )

где c2 [α( y0 ),α( y0 + ∆y)]

c2 → α( y0 ) , если ∆y → 0 . Следовательно,

J ( y

+ ∆y) − J ( y

)

β( y0 )

0

0

=

∫ f y′( x, y0 +θ∆y) dx +

∆y

β( y0

+ ∆y) −β( y0 )

α( y0 )

α( y0

+ ∆y) −α( y0 )

+ f (c , y

0

+ ∆y)

− f (c , y

0

+ ∆y)

.

1

∆y

2

∆y

Переходя к пределу при ∆y → 0 , получаем:

β( y0 )

I′( y0 ) =

∫ f y′( x, y0 ) dx + f (β( y0 ), y0 ) β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) α′( y0 ) . (5)

β( y0 )

β( y0 +∆y )

β( y0 )

I( y0 ) = ∫

f ( x, y0 ) dx =

∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ;

α( y0 )

α( y0 )

β( y0 +∆y )

β( y0 +∆y )

α( y0 )

β( y0 +∆y )

I( y0 +∆y) = ∫ f ( x, y0 +∆y) dx = ∫

f ( x, y0 +∆y) dx + ∫ f ( x, y0 +∆y) dx ;

α( y0 +∆y )

α( y0 +∆y )

α( y0 )

β( y0

+∆y )

I( y0 + ∆y) − I( y0 ) = ∫[f ( x, y0 + ∆y) − f ( x, y0 )]dx +

β( y0 +∆y )

α( y0

+∆y )

α( y0 )

β( y0 +∆y )

+ ∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 + ∆y) dx = ∫ f y′( x, y0 +θ∆y) ∆y dx +

β( y0 )

α( y0 )

α( y0 )

+ f (c1, y0 ) [β( y0 + ∆y) −β( y0 )]− f (c2 , y0 + ∆y) [α( y0 + ∆y) −α( y0 )]

I( y

+ ∆y) − I( y

)

β( y0 +∆y )

0

0

=

∫ f y′( x, y0 +θ∆y) dx +

∆y

β( y0

+ ∆y) −β( y0 )

α( y0 )

α( y0 + ∆y) −α( y0 )

+ f (c , y

0

)

− f (c , y

0

+ ∆y)

∆y

1

∆y

2

β( y0 )

α( y0 +∆y )

β( y0 )

I( y0 ) = ∫ f ( x, y0 ) dx =

∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ;

α( y0 )

α( y0 )

α( y0 +∆y )

β( y0 +∆y )

β( y0 )

β( y0 +∆y )

I( y0 +∆y) = ∫ f ( x, y0 +∆y) dx = ∫ f ( x, y0 +∆y) dx + ∫ f ( x, y0 +∆y) dx ;

α( y0 +∆y )

α( y0 +∆y )

β( y0 )

β( y0 )

I( y0 + ∆y) − I( y0 ) = ∫[f ( x, y0 + ∆y) − f ( x, y0 )]dx +

α( y0 +∆y )

β( y0

+∆y )

α( y0 +∆y )

β( y0 )

+ ∫ f ( x, y0 + ∆y) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx =

∫ f y′( x, y0 +θ∆y) ∆y dx +

β( y0 )

α( y0 )

α( y0 +∆y )

β( y0 )

α( y0 +∆y )

β( y0 +∆y )

β( y0 )

I( y0 ) = ∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ;

α( y0 )

α( y0 )

α( y0 +∆y )

β( y0 +∆y )

β( y0

+∆y )

I( y0 + ∆y) = ∫ f ( x, y0 + ∆y) dx ;

β( y0 +∆y )

α( y0 +∆y )

β( y0 +∆y )

+

∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx =

∫ f y′( x, y0 + θ∆y) ∆y dx +

β( y0 )

α( y0 )

α( y0 +∆y )

+ f (c1, y0 ) [β( y0 + ∆y) −β( y0 )]− f (c2 , y0 ) [α( y0 + ∆y) −α( y0 )]

I( y

+ ∆y) − I( y

)

β( y0 +∆y )

0

0

=

∫ f y′( x, y0 +θ∆y) dx +

∆y

β( y0 + ∆y) −β( y0 )

α( y0 +∆y )

α( y0

+ ∆y) −α( y0 )

+ f (c , y

0

)

− f (c , y

0

)

∆y

1

∆y

2

Переходя в этом соотношении к пределу при ∆y → 0 , находим

β( y0 )

I′( y0 ) = ∫

f y′( x, y0 ) dx + f (β( y0 ), y0 ) β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) α′( y0 ) . (5)

β( y0 )

В этом случае

I( y0 ) =

∫ f ( x, y0 ) dx = 0

(как интеграл, у которого совпа-

α( y0 )

дают

нижний

и

верхний

пределы

интегрирования);

β( y0 +∆y )

I( y0 + ∆y) =

∫ f ( x, y0 + ∆y) dx . А тогда

Здесь α( y0 + ∆y) ≤ c ≤β( y0

+ ∆y) c→α( y0 ) [=β( y0 )]. Имеем

∆y→0

ибо α( y0 ) =β( y0 ) . Последняя формула может быть записана также в виде

I′( y0 ) = f (β( y0 ), y0 ) β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) α′( y0 ).

(6)

β( y )

I′( y) = ∫ f y′( x, y) dx + f (β( y), y) β′( y) − f (α( y), y) α′( y) .

α( y )

§7. Примеры к главе 1

1

1. Дано: I( y) = ∫ x2 + y2 dx . Найти lim I( y) .

−1

y→0

Так

как подынтегральная

функция f ( x, y) =

x2 + y2

непрерывна на

всей плоскости Oxy ,

то она

непрерывна, в частности, в

прямоугольнике

−1 ≤ x ≤1,

где

d > 0 – любое конечное число. По теореме §2 заключа-

( P ) =

−d ≤ y ≤ d,

1

1

1

lim

∫

x2 + y2 dx = ∫lim

x2 + y2 dx = ∫ x dx =

y→0

−1

−1

y→0

−1

0

1

0

1

x2

x2

= 1

1

= ∫−x dx + ∫x dx = −

+

+

=1.

−1

0

2

−1

2

0

2

2

1+y

dx

2. Дано: I( y) = ∫

. Найти

lim I( y) .

1 + x

2

+ y

2

y

y→0

Здесь подынтегральная функция f ( x, y) =

1

. Она непрерывна

1 + x2 + y2

y (−∞,+∞) .

Следовательно, в

частности,

f ( x, y) непрерывна

в области

y ≤ x ≤1 + y,

где

d > 0

– любое

конечное число, а

функции

( D ) =

−d ≤ y ≤ d,

1+y

dx

1

dx

1

π

lim

∫

= ∫

= arctg x

=

.

0

4

1 + x

2

+ y

2

1 + x

2

y→0

y

0

1

xb − xa

3. Вычислить ∫

dx ( a > 0 ,

b > 0 ), применяя интегрирование по па-

ln x

0

1)

lim

xb − xa

= 0 подынтегральная функция в правой полуокрестно-

ln x

x→+0

сти точки x = 0 – ограниченная.

2)

lim

xb − xa

= lim

bxb−1 −axa−1

=

lim (bxb −axa ) = b −a – опреде-

ln x

x→1−0

x→1−0

1 x

x→1−0

Положим

xb − xa

, x (0, 1);

~

ln x

f

(x) =

0, x = 0;

b −a,

x =1.

~

~

данный интеграл

Ясно, что f ( x) C([0, 1])

f ( x) R([0, 1]), а значит,

1

xb − xa

∫

dx сходится.

ln x

0

b

Введем в рассмотрение интеграл I( x) = ∫x y dy ( a > 0 ,

b > 0 ), x [0, 1].

1

1

b

y

b 1

y

∫

I( x) dx = ∫

∫x

∫x

dy dx = ∫

dx dy .

0

0

a

a

0

b

x y

y=b

xb − xa

Так как

I( x) = ∫x y dy =

=

,

то предыдущее равенство примет

a

ln x

y=a

ln x

вид:

1

b 1

x

b

− x

a

y

∫

dx = ∫

∫x

ln x

dx dy