1. Лекция. Кручение. Кручение бруса некруглого сечения. Кручение прямого круглого бруса.

Деформация кручения вызывается парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к оси стержня. Поэтому при кручении в произвольном поперечном сечении стержня из шести внутренних силовых факторов возникает только один – крутящий момент . Как показывают опыты, поперечные сечения при кручении поворачиваются одно относительно другого вокруг оси стержня, при этом длина не меняется.

Стержни, работающие на кручение, обычно называют валами.

Рассматривая кручение вала, легко установить, что под действием скручивающего момента любое сечение на расстоянии от заделки поворачивается относительно закрепленного сечения на некоторый угол-угол закручивания(Рис. 5.1). При этом чем больше скручивающий момент, тем больше и угол закручивания. Зависимости, называемые диаграммами кручения, полученные для образца из пластичного материала, до некоторой степени подобны диаграммам растяжения (Рис. 5.2). В дальнейшем при выводе формул для напряжений и угла закручивания нас будет интересовать участок диаграммы кручения, соответствующий работе материала в пределах пропорциональности.

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Рассмотрим геометрическую картину деформации вала при кручении.

Если до деформации на поверхность вала нанести сетку, состоящуюиз линий, параллельных оси, и линий, представляющие собой параллельные круги, то после закручивания вала скручивающим моментомможно заметить следующее: образующие цилиндра превращаются в винтовые линии, параллельные круги не искривляются и расстояние между ними остается неизменным, радиусы, проведенные в торцевых сечениях остаются прямыми (Рис. 5.3). Полагая, что картина, наблюдаемая на поверхности вала, сохраняется и внутри, сформулируемгипотезы, взятые в основутеории кручения круглых стержней:

1. Поперечные сечения, плоские и нормальные к оси вала до деформации, остаются плоскими и нормальными к той же оси и после деформации.

Рис. 5.3

Прямолинейная ось вала остается прямолинейной и после деформации, а все поперечные сечения поворачиваются вокруг этой оси по отношению друг к другу на какой то угол . Радиусы поперечных сечений при деформации не искривляются. Расстояния между сечениями вала в процессе деформации не изменяются, следовательно, и вся длина вала остается прежней.

На основании принятых гипотез кручение круглого вала можно представить как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом поперечных сечений относительно друг друга. Вследствие этого в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю.

Выделим из закручиваемого вала диск радиуса на расстоянииот закрепленного конца, ограниченный двумя смежными сечениямии, находящимися друг от друга на расстоянии(Рис. 5.1) и рассмотрим его отдельно (Рис. 5.4)

Рис. 5.4

Если сечение , лежащее на расстоянииот защемленного конца вала, повернулось относительно последнего на угол, то сечение, находящееся на расстоянии, повернется относительно закрепленного конца на угол. Точки идо деформации лежащие на одной образующей, после деформации расположатся на винтовой линии и займут новое положениеи.

Проведем от точки прямую, параллельнуюи соединим центр сеченияс точкой. Тогда угол, равный, будет углом поворота сеченияотносительно сечения. У элементадо поворота сеченияотносительно сеченияверхняя и нижняя стороны были расположены горизонтально. После поворота стороны наклонились и приняли положениеи. Следовательно, элемент претерпел абсолютный сдвиг, равный длине дуги:

Относительный сдвиг будет равен:

Отношение представляет относительный угол закручивания(угол закручивания на единицу длины бруса). Тогда

(5.1)

Из этой формулы видно, что относительный сдвиг пропорционален радиусу закручиваемого цилиндрического тела.

На основании закона Гука для сдвига

(5.2)

Можно определить касательное напряжение для элементов лежащих на поверхности вала

(5.3)

Учитывая предположение, что деформация элементов на поверхности вала подобна деформации элементов внутри вала, для произвольного элемента, находящегося на расстоянии от центра поперечного сечения (рис 5.5)

Рис. 5.5

(5.4) (5.5) Касательная элементарная сила на площадке расположенной на расстоянииот оси вала Момент элементарной силы относительно оси бруса будет:

(5.6)

Сумма таких элементарных моментов, распределенных по всему поперечному сечению , при равновесии, наступающем после деформации, должна быть равна крутящему моменту:

(5.7)

Вынесем постоянные за знак интеграла, получим

(5.8)

Интеграл является полярным моментом инерции(лекция 2, выражение (2.9)). Тогда

(5.9)

Откуда относительный угол закручивания

(5.10)

Подставляя в выражение (5.5) выражение относительного угла закручивания получим

(5.11)

Это уравнение показывает, что напряжения в площадках сечения прямо пропорциональны их расстояниям до центра сечения.

При расчете на прочность при кручении необходимо знать максимальные напряжения для сравнения их с допускаемыми напряжениями. Очевидно, что максимальные напряжения при кручении круглого вала будут иметь точки максимально удаленные от оси вала. Т. е. точки с полярной координатой, равной радиусу сечения вала

Отношение полярного момента инерциик наибольшему радиусу сеченияназывается полярным моментом сопротивления

(5.12)

Тогда условие прочности при кручении будет иметь следующий вид

(5.13)

Для сплошного круглого сечения

(5.14)

(5.15)

Помимо расчета на прочность валы рассчитывают и на жесткость, ограничивая относительный угол закручивания некоторой допускаемой величиной :

(5.16)