ms_2006
.pdf
Оглавление
JJ 
II
J I
На стр. ... из 179 
Назад
Во весь экран
Уйти
Стр. 121
Введем при ε [0, 1] класс критериев Kε = {δ(X) : α1(δ) 6 ε}.
Определение 25. Критерий δ0 Kε называют наиболее мощным критерием (НМК) размера ε, если
α2(δ0) 6 α2(δ)
для любого другого критерия δ Kε.
7.3. Построение оптимальных критериев
Следующее замечательное утверждение, по недоразумению называемое леммой, заявляет, что оптимальные во всех трех смыслах (минимаксные, байесовские, наиболее мощные) критерии могут быть построены в самом общем случае простым выбором различных констант в одном и том же критерии — критерии отношения правдоподобия.
Пусть X = (X1, . . . , Xn) — выборка (набор независимых, одинаково распределенных величин), и имеются две гипотезы о распределении Xi:
H1 = {Xi имеют распределение F1} и H2 = {Xi имеют распределение F2}
Пусть f1(y) — плотность распределения F1, f2(y) — плотность распределения F2, а
n |
n |
|
Yi 1 |
Yi 1 |
(Xi) |
f1(X) = f1(X1, . . . , Xn) = |
f1(Xi) и f2(X) = f2(X1, . . . , Xn) = f2 |
|
= |
= |
|
— соответствующие функции правдоподобия.
Оглавление
JJ 
II
J I
На стр. ... из 179 
Назад
Во весь экран
Уйти
Стр. 122
Предполагается, что распределения F1 и F2 либо оба дискретны, либо оба абсолютно непрерывны.
Замечание 17. Если одно из распределений дискретно, а другое абсолютно непрерывно, то всегда существует критерий с нулевыми вероятностями ошибок. Смешанные распределения мы рассматривать не будем. Математики вместо этого могут предполагать, что оба распределения абсолютно непрерывны относительно одной и той же σ-конечной меры и имеют относительно нее плотности f1(y) и f2(y).
Мы будем выбирать гипотезу в зависимости от отношения функций правдоподобия. Напомним, что функция правдоподобия есть плотность распределения выборки.
Обратимся к примеру 30. Естественным кажется принимать вторую гипотезу, если X1 лежит правее точки пересечения плотностей c = 1/2. То есть там, где вторая плотность больше, принимать вторую гипотезу, там, где первая — первую. Такой критерий сравнивает отношение f2(x1, . . . , xn)/f1(x1, . . . , xn) с единицей, относя к критической области ту часть IRn, где это отношение больше единицы. Заметим, что при этом мы получим ровно один, не обязательно оптимальный, критерий с некоторым фиксированным размером и мощностью.
Если же нужно получить критерий c заранее заданным размером α1 = ε, либо иметь возможность варьировать и размер, и мощность критерия, то следует рассмотреть класс похожих критериев, введя свободный параметр: там, где вторая плотность в c раз превосходит первую, выбирать вторую гипотезу, иначе — первую: сравнивать отношение плотностей f2(x1, . . . , xn)/f1(x1, . . . , xn) не с единицей, а с некоторой постоянной c.
Оглавление
JJ 
II
J I
На стр. ... из 179 
Назад
Во весь экран
Уйти
Стр. 123
Назовем отношением правдоподобия частное |
|
|
|
|
T(x) = T(x1, . . . , xn) = |
f2(x1, . . . , xn) |
, |
(18) |
|
f1(x1, . . . , xn) |
||||
|
|
|
рассматривая его лишь при таких значениях x, когда хотя бы одна из плотностей отлична от нуля. Имеется в виду, что 0/a = 0, a/0 = +∞.
Конструкция критерия, который мы живописали выше, сильно усложнится в случае, когда распределение случайной величины T(X) не является непрерывным, т. е. существует такое число c, что c = PH1 (f2(X)/f1(X) = c) отлична от нуля. Это означает, что на некотором «большом» множестве значений выборки обе гипотезы «равноправны»: отношение правдоподобия постоянно. Относя это множество целиком к критическому множеству или целиком исключая из него, мы меняем вероятность ошибки первого рода (размер) критерия на положительную величину c:
PH1 (T(X) >c) = PH1 (T(X) > c) + PH1 (T(X) = c) = PH1 (T(X) > c) + c.
И если вдруг мы захотим приравнять вероятность ошибки первого рода к заранее выбранному числу ε, может случиться так, что критерий с критическим множеством S = {T(x) > c} имеет размер больший, чем ε, а критерий с критическим множеством S = {T(x) > c} — размер меньший, чем ε.
Поэтому для математиков, не читающих [1], мы сформулируем замечательно мощное утверждение мелким шрифтом, зато в общем случае. Затем для почти математиков сформулируем и докажем частный, но наиболее частый случай, когда отношение правдоподобия T(X) имеет при верной первой гипотезе непрерывную функцию распределения, т. е. c = 0 для любого c.
II
II
II
II
II
II