ms_2006

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 91

6.Распределения, связанные с нормальным

Впредыдущей главе мы построили (в числе других) точный доверительный интервал для параметра a нормального распределения при известном σ2. Для этого мы рассмотрели функцию от выборки и неизвестного параметра a

G(X, a) = √n X −σ a,

имеющую при любом a стандартное нормальное распределение.

Остались нерешенными следующие проблемы:

2)построить точный ДИ для σ при известном a,

3)построить точный ДИ для a при неизвестном σ,

4)построить точный ДИ для σ при неизвестном a.

Как мы уже видели, для решения этих задач требуется отыскать функции от выборки и параметров, распределение которых было бы известно. При этом в задаче (3) искомая функция не должна зависеть от неизвестного σ, а в задаче (4) — от a.

Такой особый интерес к нормальному распределению связан, разумеется, с центральной предельной теоремой — по большому счету все в этом мире нормально (или близко к тому).

Займемся поэтому распределениями, связанными с нормальным распределением, их свойствами и свойствами выборок из нормального распределения.

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 92

6.1.Гамма-распределение и его свойства

Сопределением гамма-распределения мы познакомились в курсе теории вероятностей. вспомнить! Нам понадобится свойство устойчивости по суммированию этого

распределения, которое до сих пор было доказано только в частном случае — когда независимые слагаемые имеют одно и то же показательное распределение Eα = Гα,1.

Свойство 7. Пусть ξ1, . . . , ξn независимы, и ξi имеет гамма-распределение Гα,λi ,

Доказательство свойства устойчивости по суммированию (свойства 7).

Воспользуемся свойствами характеристических функций. Характеристическая функция гамма-распределения Гα,λ вычислена нами в курсе теории вероятностей и равна

ϕξ(t) = E eitξ = 1 − itα −λ .

Характеристическая функция суммы независимых случайных величин есть произведение характеристических функций слагаемых:

— х.ф. распределения Гα,Pn1 λi .

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 93

Свойство 8. Если ξ имеет стандартное нормальное распределение, то ξ2 имеет гамма-распределение Г1/2,1/2.

Доказательство. Найдем производную функции распределения величины ξ2 и убедимся, что она является плотностью распределения. При y 6 0

Fξ2 (y) = P (ξ2 < y) = 0, поэтому и плотность fξ2 (y) = 0.

При y > 0

Fξ2 (y) = P (ξ2 < y) = P (−√y < ξ < √y) = Fξ(√y) − Fξ(−√y).

при y > 0, является плотностью гамма-распределения Г1/2,1/2.

Оглавление

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 94

6.2. Распределение «хи-квадрат» и его свойства

Из свойства 7 и свойства 8 непосредственно следует утверждение:

Следствие 2. Если ξ1, . . . , ξk независимы и имеют стандартное нормальное распределение, то случайная величина

χ2k = ξ21 + . . . + ξ2k

имеет гамма-распределение 1/2,k/2.

Определение 16. Распределение суммы k квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин называют распределением «хи-квадрат» с k степенями свободы и обозначают Hk. Согласно следствию 2, распределение Hk совпадает с Г1/2,k/2.

На графике ниже изображены плотности распределения Hk = Г1/2,k/2 при k равном 1, 2, 4 и 8.

Упражнение. Доказать, что при k > 2 максимум плотности распределения Hk достигается в точке k − 2.

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 96

2.Моменты распределения χ2. Если χ2k имеет распределение Hk, то

Доказательство. Пусть ξ1, ξ2, . . . независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда

E ξ21 = 1, D ξ21 = E ξ41 − (D ξ21)2 = 3 − 1 = 2

(см. пример 20). Поэтому

имеет χ2-распределение Hk с k степенями свободы.

Упражнение. Доказать следствие 3.

Упражнение. Как, пользуясь таблицей стандартного нормального распределения, найти квантиль заданного уровня для χ2-распределения с одной степенью свободы?

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 98

Свойства распределения Стьюдента:

1. Симметричность. Если случайная величина tk имеет распределение Стьюдента Tk с k степенями свободы, то и −tk имеет такое же распределение.

Упражнение. Доказать.

2. Асимптотическая нормальность. Распределение Стьюдента Tk слабо сходится к стандартному нормальному распределению при k → ∞.

Доказательство. Пусть ξ0, ξ1, . . . , ξk независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда E ξ21 = 1, и по ЗБЧ

откуда следует и слабая сходимость последовательности случайных величин tk с распределением Стьюдента к ξ0, имеющей стандартное нормальное распределение. То есть Tk N0,1.

3. Распределение Стьюдента с одной степенью свободы есть стандартное распределение Коши.

Упражнение. Как получить случайную величину с распределением Коши, имея две независимые стандартные нормальные случайные величины?

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 99

√

Доказательство. Подставим k = 1 в плотность (15), используя (1/2) = π и(1) = 1, и получим плотность распределения Коши:

4. У распределения Стьюдента существуют только моменты порядка m < k, и не существуют моменты порядка m > k. При этом все существующие моменты нечетного порядка равны нулю.

Упражнение. Посмотреть на плотность (15) и убедиться в сходимости или расходимости на бесконечности при соответствующих m интегралов

Отметим, что и распределение χ2, и распределение Стьюдента табулированы, так что если в каких-то доверительных интервалах появятся квантили этих распределений, то мы найдем их по таблице.

Следущее распределение тоже тесно связано с нормальным распределением, но понадобится нам не при построения доверительных интервалов, а чуть позже — в задачах проверки гипотез. Там же мы поймем, почему его называют часто распределением дисперсионного отношения. Призываем математиков сравнить определение [1, п.6 §2 гл.2] с нашим определением и учесть, что в статистических таблицах все-

гда табулируется распределение Фишера в том виде, как мы его сейчас определим.

что было раньше - курица или яйцо?

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 100

6.4. Распределение Фишера

Определение 18. Пусть χ2k имеет распределение Hk, а χ2m — распределение Hm, причем эти случайные величины независимы. Распределение случайной величины

называют распределением Фишера с k, m степенями свободы и обозначают Fk,m.

Свойства распределения Фишера (или Фишера — Снедекора):

1.Если hk,m имеет распределение Фишера Fk,m, то 1/hk,m имеет распределение

Фишера Fm,k.

2. Распределение Фишера Fk,m слабо сходится к вырожденному в точке 1 распределению I1 при любом стремлении k и m к бесконечности.

Доказательство. Убедитесь по ЗБЧ, что любая последовательность случайных величин hk,m, распределение которой совпадает с распределением отношения двух средних арифметических