Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МиИ_ПЗ 3 Математическая логика.doc
Скачиваний:
222
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
418.3 Кб
Скачать

Практические задания по математической логике высказывания и операции над ними

1.1. Какие из следующих предложений являются высказываниями?

а) Москва  столица России.

б) Студент физико-математического факультета педагогического института.

в) Треугольник ABC подобен треугольнику А'В'С'.

г) Луна есть спутник Марса.

д)

е) Кислород  газ.

ж) Каша  вкусное блюдо.

з) Математика  интересный предмет.

и) Картины Пикассо слишком абстрактны.

к) Железо тяжелее свинца.

л) Да здравствуют музы!

м) Треугольник называется равносторонним, если его стороны равны.

н) Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонние.

о) Сегодня плохая погода.

п) В романе А. С. Пушкина «Евгений Онегин» 136 245 букв.

р) Река Ангара впадает в озеро Байкал.

Решение. б) Это предложение не является высказыванием, потому что оно ничего не утверждает о студенте.

в) Предложение не является высказыванием: мы не можем определить, истинно оно или ложно, потому что не знаем, о каких именно треугольниках идет речь.

ж) Предложение не является высказыванием, так как понятие «вкусное блюдо» слишком неопределенно.

п) Предложение  высказывание, но для выяснения его значения истинности нужно затратить немало времени.

1.2. Укажите, какие из высказываний предыдущей задачи истинные, а какие  ложные.

1.3. Сформулируйте отрицания следующих высказываний; укажите значения истинности данных высказываний и их отрицаний:

а) Волга впадает в Каспийское море.

б) Число 28 не делится на число 7.

в) 6 > 3.

г) 4  5.

д) Все простые числа нечетны.

1.4. Установите, какие из высказываний в следующих парах являются отрицаниями друг друга и какие  нет (объясните почему):

а) 2 < 0, 2 > 0. -

б) 6 < 9, 6  9.

в) «Треугольник ABC прямоугольный», «Треугольник ABC тупоугольный».

г) «Натуральное число n четно», «Натуральное число n нечетно».

д) «Функция f нечетна», «Функция f четна».

е) «Все простые числа нечетны», «Все простые числа четны».

ж) «Все простые числа нечетны», «Существует простое четное число».

з) «Человеку известны все виды животных, обитающих на Земле», «На Земле существует вид животных, не известный человеку».

и) «Существуют иррациональные числа», «Все числа рациональные».

Решение. а) Высказывание «2 > 0» не является отрицанием 'высказывания «2 < 0», потому что требование не быть меньше 0 оставляет две возможности: быть равным 0 и быть больше 0. Таким образом, отрицанием высказывания «2 < 0» является высказывание «2  0».

1.5. Следующие высказывания запишите без знака отрицания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

1.6. Определите значения истинности следующих высказываний:

а) Ленинград расположен на Неве и 2 + 3 = 5.

б) 7  простое число и 9  простое число.

в) 7  простое число или 9  простое число.

г) Число 2 четное или это число простое.

д) 2  3, 2  3, 2 • 2  4, 2 • 2  4.

е) 2 • 2 = 4 или белые медведи живут в Африке.

ж) 2 • 2 = 4, и 2 • 2  5, и 2 • 2  4.

Решение. а) Так как оба простых высказывания, к которым применяется операция конъюнкции, истинны, поэтому на основании определения этой операции и их конъюнкция есть истинное высказывание.

1.7. Определите значения истинности высказываний А, В, С, D и Е, если:

 истинные высказывания, а

 ложные.

Решение. в) Дизъюнкция высказываний есть истинное высказывание лишь в случае, когда по меньшей мере одно из входящих в дизъюнкцию составляющих высказываний (членов дизъюнкции) истинно. В нашем случае второе составляющее высказывание «2 • 2 = 5» ложно, а дизъюнкция двух высказываний истинна. Поэтому первое составляющее высказывание С истинно.

1.8. Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции или дизъюнкции условие истинности каждого предложения (а и b — действительные числа):

а) г)ж)

б) д)з)

в) е)и)

Решение. г) Дробь равна нулю лишь в случае, когда числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю, т. е. (а = 0) & (b  0).

1.9. Определите значения истинности следующих высказываний:

а) Если 12 делится на 6, то 12 делится на 3.

б) Если 11 делится на 6, то 11 делится на 3.

в) Если 15 делится на 6, то 15 делится на 3.

г) Если 15 делится на 3, то 15 Делится на 6.

д) Если Саратов расположен на Неве, то белые медведи обитают в Африке.

е) 12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3.

ж) 11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3.

з) 15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3.

и) 15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4.

к) Тело массой m обладает потенциальной энергией mgh тогда и только тогда, когда оно находится на высоте h над поверхностью земли.

Решение.а) Так как высказывание-посылка «12 делится на 6» истинно и, высказывание-следствие «12 делится на 3» истинно, то и составное высказывание на основании определения импликации также истинно.

ж) Из определения эквивалентности видим, что высказывание вида истинно, если логические значения высказыванийР и Q совпадают, и ложно в противном случае. В данном примере оба высказывания к которым применяется связка «тогда и только тогда», ложны. Поэтому все составное высказывание истинно.

1.10. Пусть через А обозначено высказывание «9 делится на 3», а через В  высказывание «8 делится на 3». Определите значения истинности следующих высказываний:

а) г)ж)к)

б) д)з)л)

в) е)и)м)

Решение. е) Имеем ,. Поэтому

.

1.11. Определите значения истинности высказываний А, В, С и D в следующих предложениях, из которых первые два истинны, а последние два ложны:

а) Если 4  четное число, то А.

б) Если В, то 4  нечетное число.

в) Если 4  четное число, то С.

г) Если D, то 4  нечетное число.

Решение. а) Импликация двух высказываний есть ложное высказывание лишь в единственном случае, когда посылка истинна, а заключение ложно. В данном случае посылка «4  четное число» истинна и по условию все высказывание также истинно. Поэтому заключение А ложным быть не может, т. е. высказывание А истинно.

1.12. Определите значения истинности высказываний А, В, С и D в следующих предложениях, из которых первые два истинны, а последние два ложны:

а) ; б);

в) ; г).

1.13. Пусть через А обозначено высказывание «Этот треугольник равнобедренный», а через В  высказывание «Этот треугольник равносторонний». Прочитайте следующие высказывания:

а) г)

б) д)

в) е)

Решение. е) Если треугольник равнобедренный и неравносторонний, то неверно, что он неравнобедренный.

1.14. Следующие составные высказывания расчлените на простые и запишите символически, введя буквенные обозначения для простых их составляющих:

а) Если 18 делится на 2 и не делится на 3, то оно не делится на 6.

б) Произведение трех чисел равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю.

в) Если производная функция в точке равна нулю и вторая производная этой функции в той же точке отрицательна, то данная точка есть точка максимума этой функции.

г) Если в треугольнике медиана не является высотой и биссектрисой, то этот треугольник не равнобедренный и не равносторонний.

Решение. г) Выделим и следующим образом обозначим простейшие составляющие высказывания:

А: «В треугольнике медиана является высотой»;

В: «В треугольнике медиана является биссектрисой»;

С: «Этот треугольник равнобедренный»;

D: «Этот треугольник равносторонний».

Тогда данное высказывание символически записывается так:

.

1.15. Из двух данных высказываний А и В постройте составное высказывание с помощью операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, которое было бы:

а) истинно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания ложны;

б) ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания истинны.

1.16. Из трех данных высказываний А, В, С постройте составное высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в этом случае.

1.17. Пусть высказывание истинно. Что можно сказать о логическом значении высказывания?

1.18. Если высказывание истинно (ложно), то что можно сказать о логическом значении высказываний:

а) ; б); в); г)?

1.19. Если высказывание истинно, а высказываниеложно, то что можно сказать о логическом значении высказывания?

1.20. Существуют ли три таких высказывания А, В, С, чтобы одновременно высказывание было истинным, высказывание ложным и высказывание  ложным?

1.21. Для каждого из помещенных ниже высказываний определите, достаточно ли приведенных сведений, чтобы установить его логическое значение. Если достаточно, то укажите это значение. Если недостаточно, то покажите, что возможны и одно, и другое истинностные значения:

а) ; г)

б) д)

в) е)

Решение. а) Поскольку заключение импликации истинно, то и вся импликация будет истинным высказыванием независимо от логического значения посылки.