§ 3. Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя
Запишем уравнение Бесселя
(1)
Нетрудно видеть, что является особой точкой уравнения. Об этом нужно помнить, когда умножая его почленно на x2, мы приходим к формуле (1). Уравнение, записанное в виде (1) или в виде (3), называют уравнением Бесселя ν-го порядка или уравнением цилиндрических функций ν-го порядка. Второе название объясняется тем, что к этому уравнению в задачах математической физики приходят в случае применения метода разделения переменных, когда (в силу специфики граничных условий) используются полярные или цилиндрические координаты. Проследим этот путь на примере решения задачи о свободных колебаниях круглой мембраны, которая формулируется следующим образом.
Требуется найти нетривиальное и ограниченное внутри круга решение уравнения колебания струны в полярных координатах
, (2)
удовлетворяющее однородному граничному условию
(3)
где l – радиус круга и начальным условиям
(4)
Представим U в виде
. (5)
Это возможно только тогда когда существует λ, такое что
. (6)
Для уравнения (6) граничные условия перепишутся следующим образом:
(7)
(8)
Начальные условия можно выписать только для произведения функций .
II шаг: Рассмотрим функцию V:
. (9)
Граничные условия имеют вид R(l)=0. (10)
Если мы введем переменные , то получим следующее уравнение
(13)
Это уравнение является частным случаем уравнения Бесселя для задачи о колебании круглой мембраны. В общем случае вместо коэффициента n, равного целому числу, должен стоять произвольный параметр ν, а именно
(13')
Решение уравнения Бесселя.
Будем искать решение уравнением Бесселя в виде обобщенного степенного ряда
или (14)
Чтобы определить коэффициенты ряда (14) нужно подставить его в уравнение (13) и собрать коэффициенты при одинаковых степенях х . После этого полученные коэффициенты при каждой степени х приравняем нулю, в результате получим
коэффициент при :
и если, то будет следовать, что . Положим сначала, а потом окончательное решение запишем и для .
Коэффициент при :
или
, но вспоминая, что, будем иметь
Поскольку, получаем, что .
Коэффициент при :
или
, т.е.
и в результате будем иметь
при этом a0 остается не определенным (а значит, произвольным)
Имея выражение a2 через a0 можно предположить (и доказать), что и aк будет выражаться через aк-2 аналогичным образом , т. е.
()
В частности:
Тогда можно записать
()
Воспользуемся свойством гамма-функции
,
но и тогда
Если теперь выберем для произвольного a0 выражение , то
Тогда решение уравнения Бесселя можно записать в виде
функция Бесселя (15)
для :
.
Если ν – не целое число, то и являются линейными независимыми функциями, и из них можно составить общее решение уравнения. Если ν – целое, то можно показать, что .
В этом случае вводят в рассмотрение комбинацию из и следующего вида:
, (16)
которая также является решением уравнения Бесселя и, кроме того, является линейно независимой функцией от .
называется функцией Неймана, которая тоже является специальной функцией.
При решении задачи о колебании мембраны у нас как раз – целое число и общее решение надо бы писать в виде
Однако, вспоминая граничное условие и условие , мы видим, что в нуле неограниченно возрастает и, следовательно, надо положить .
Таким образом, общее решение имеет вид
(17)
Для определения значений λ воспользуемся граничным условием в виде
(для каждого n) (18)
и получаем бесконечный набор трансцендентных уравнений, каждое из которых будет иметь бесконечное число решений (для каждого m), т.е., где m и n – целые числа. Тогда и функции Бесселя должны иметь двойную нумерацию Jn m.