
§ 3. Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя
Запишем уравнение Бесселя
(1)
Нетрудно видеть, что
является
особой точкой уравнения. Об этом нужно
помнить, когда умножая его почленно на
x2,
мы приходим к формуле (1). Уравнение,
записанное в виде (1) или в виде (3), называют
уравнением Бесселя
ν-го порядка
или уравнением
цилиндрических функций ν-го
порядка. Второе
название объясняется тем, что к этому
уравнению в задачах математической
физики приходят в случае применения
метода разделения переменных, когда (в
силу специфики граничных условий)
используются полярные или цилиндрические
координаты. Проследим этот путь на
примере решения задачи о свободных
колебаниях круглой мембраны, которая
формулируется следующим образом.
Требуется найти нетривиальное и ограниченное внутри круга решение уравнения колебания струны в полярных координатах
,
(2)
удовлетворяющее однородному граничному условию
(3)
где l – радиус круга и начальным условиям
(4)
Представим U в виде
. (5)
Это возможно только тогда когда существует λ, такое что
. (6)
Для уравнения (6) граничные условия перепишутся следующим образом:
(7)
(8)
Начальные условия можно
выписать только для произведения функций
.
II шаг: Рассмотрим функцию V:
. (9)
Граничные условия имеют вид R(l)=0. (10)
Если мы введем переменные
,
то получим следующее уравнение
(13)
Это уравнение является частным случаем уравнения Бесселя для задачи о колебании круглой мембраны. В общем случае вместо коэффициента n, равного целому числу, должен стоять произвольный параметр ν, а именно
(13')
Решение уравнения Бесселя.
Будем искать решение уравнением Бесселя в виде обобщенного степенного ряда
или
(14)
Чтобы определить коэффициенты ряда (14) нужно подставить его в уравнение (13) и собрать коэффициенты при одинаковых степенях х . После этого полученные коэффициенты при каждой степени х приравняем нулю, в результате получим
коэффициент при
:
и если,
то будет следовать, что
.
Положим сначала
,
а потом окончательное решение запишем
и для
.
Коэффициент при
:
или
, но вспоминая, что
,
будем иметь
Поскольку,
получаем, что
.
Коэффициент при
:
или
,
т.е.
и в результате будем иметь
при этом a0 остается не определенным (а значит, произвольным)
Имея выражение a2 через a0 можно предположить (и доказать), что и aк будет выражаться через aк-2 аналогичным образом , т. е.
(
)
В частности:
Тогда можно записать
(
)
Воспользуемся свойством гамма-функции
,
но
и тогда
Если теперь выберем для
произвольного a0
выражение
,
то
Тогда решение уравнения Бесселя можно записать в виде
функция Бесселя (15)
для
:
.
Если ν –
не целое число, то
и
являются линейными независимыми
функциями, и из них можно составить
общее решение уравнения. Если ν
– целое, то можно
показать, что
.
В этом случае вводят в
рассмотрение комбинацию из
и
следующего вида:
,
(16)
которая также является
решением уравнения Бесселя и, кроме
того, является линейно независимой
функцией от
.
называется функцией Неймана,
которая тоже является специальной
функцией.
При решении задачи о колебании
мембраны у нас как раз
– целое число и общее решение надо бы
писать в виде
Однако, вспоминая граничное
условие
и условие
,
мы видим, что
в нуле неограниченно возрастает и,
следовательно, надо положить
.
Таким образом, общее решение имеет вид
(17)
Для определения значений λ воспользуемся граничным условием в виде
(для каждого n)
(18)
и получаем бесконечный набор
трансцендентных уравнений, каждое из
которых будет иметь бесконечное число
решений (для каждого m),
т.е.,
где m и
n –
целые числа. Тогда и функции Бесселя
должны иметь двойную нумерацию Jn
m.