- •6. Сколярное произв. В лин. Простр. Евклидовы простр. Норма, примеры.
- •7.Ортогональность в эвклидовых пространствах…
- •9. Тригонометрич с-ма.
- •10.Многочлены Лежандра и их свойства.
- •12. Собственные значения и собственные функций оператора
- •13. Сопряжённые операторы, их свойства.
- •15. Дифференциальное уравнение Лежандра
- •16. Основные ур-ния мат физики.
- •19 Z-преобразование и его свойства
- •3. Опережение (формула опережения):
- •4. Дифференцирование изображения:
- •22. Уравнение Эйлера-Лагранжа
- •21.Основные задачи вариационного исчисления
- •11.Операторы
13. Сопряжённые операторы, их свойства.
Линейный оператор A* называется сопряженным по отношению к оператору А в том и только в том случае, если для любых двух векторов x,y из R выполняется равенство (Ax,y)=(x,A*y).
Из определения сопряженного оператора вытекают следующие его свойства:
1. (A*)*=A, 2. (A+B)*=A*+B*, 3. (αA)*= αA* (α- скаляр), 4.(AB)*=B*A* . Линейный оператор А из L(V, V) называется самосопряженным, если справедливо равенство А* =А. Унитарный оператор - ограниченныйлинейныйоператорU : H→H на гильбертовом пространствеH, который удовлетворяет соотношению U*U=UU*=I
где U∗— эрмитово сопряжённый к U оператор, и I : H → H единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим: U сохраняет скалярное произведение〈 , 〉гильбертового пространства, то есть, для всех векторов x и y в гильбертовом пространстве,〈Ux,Uy〉=〈x,y〉
Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:
U сохраняет скалярное произведение, и образU - плотное множество.
Чтобы увидеть это, заметим, что U изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что U сохраняет скалярное произведение. Тот факт, что образ U - плотное множество. Очевидно, чтоU−1 = U∗. Спектр самосопряженного оператора лежит на вещественной оси. Спектр самосопряженного оператора представляет собой ограниченное замкнутое множество, лежащее на вещественной оси. Квадратичная форма ( Ах, х), отвечающая самосопряженному оператору, принимает лишь вещественные значения. Спектр самосопряженного оператора замкнут. Комплексные числа не принадлежат спектру самосопряженного оператора А.
15. Дифференциальное уравнение Лежандра
Уравнением Лежандра называется уравнение вида
(1)
где α некоторый параметр; оно имеет особые точки x=-1 и x=x+1
Рассмотрим следующую граничную задачу: найти значения параметра X, при которых в промежутке [—1, 1] существует нетривиальное решение уравнения(1), ограниченное в особых точках х = ± 1.
Будем искать решение уравнения Лежандра в виде степенного ряда(2)
Подставляя (2) в (1), получим
Отсюда следует, что
Или(3)
Коэффициенты а0и а1, остаются произвольными. При а0≠0, а1=0 получим частное решение уравнения (1), содержащее только четные степени х, при а0 = О, я, а1≠0 — частное решение, содержащее только нечетные степени х. При λ = n(n+1) уравнение (1) имеет решение в виде многочлена степени п, которое ограничено в особых точках х=±1. Найдем теперь соответствующие решения уравненияимеющие форму многочленов степени п.
(4)
Рассмотрим многочлен степени 2п:
z = (х2 — 1 )п.
Нетрудно видеть, что этот многочлен удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению
Продифференцируем обе части этого уравнения п раз по х, тогда получим
Если мы продифференцируем это уравнение еще раз по х, то найдем, что z{п)удовлетворяет уравнению (4).
Итак, уравнение (4) имеет решение
Где С- постоянная
Получим (5)
Это и есть полиномы Лежандра, которые являются решениями уравнения (1) при λ = n(n+1)
Таким образом, полиномы Лежандра являются собственными функциями рассматриваемой задачи, соответствующими собственным числам