Содержание отчета

1. Краткое описание алгоритма.

2. Матрица весов.

3. Графическое представление графа с отмеченным на нем экстремальным путем.

4. Выводы. Рекомендации по формированию пояснений на обучающем стенде в соответствии с результатами программного контроля.

Лабораторная работа № 3

Кратчайший остов графа

^{Цель работы}

^{Теоретическое и практическое изучение алгоритмов решения задачи определения кратчайшего остовного дерева графа.}

^{Теоретическая часть}

3.1. Понятие дерева

Одним из наиболее важных понятий теории графов является дерево. Его упрощенное определение можно дать так. Дерево – граф, имеющий начало, от которого дуги (ребра) расходятся, как ветви дерева. Дерево, как и граф, может быть ориентированным и неориентированным.

Неориентированное дерево– это сильно связный граф, не имеющий циклов.Ориентированное деревопредставляет собой ориентированный граф без циклов, в котором в каждую вершину должна быть направлена только одна дуга, кроме корневой вершины, куда не заходит ни одна дуга. Остовное дерево графа, или остов графа, имеет то же самое множество вершин, что и исходный граф, но множество дуг (ребер) остовного дерева является подмножеством множества дуг (ребер) исходного графа.

3.2. Алгоритм построения всех остовных деревьев графа на основе полного перебора последовательностей ребер или дуг

Алгоритм можно представить в виде последовательности из 7 пунктов (этапов). Он справедлив как для неориентированных, так и для ориентированных графов.

1. Все ребра (дуги) перенумеровываются от 1 до m, гдеm– число ребер (дуг) в графе.

2. Составляются различные перестановки последовательностей ребер (дуг), например для трех ребер в графе последовательности

1 – d₁, d₂, d₃; 2 – d₁, d₃, d₂; 3 – d₂, d₁ d₃;

4 – d₂, d₃, d₁; 5 – d₃, d₁, d₂; 6 – d₃, d₂, d₁.

3. Выбрав определенную последовательность, строим дерево (для неориентированного графа – сильно связный граф без циклов, для ориентированного графа не должно быть двух путей в одну вершину). Если очередное ребро (дуга) увеличивает дерево, т.е. увеличивает число ребер (дуг) в нем, то оно включается в дерево. Если же оно приводит к образованию цикла (в случае неориентированного графа) или образует два пути в одну вершину (для ориентированного графа), то данное ребро (дуга) вычеркивается из списка данной последовательности. Если ребро(дуга) не увеличивает дерево, то оно вносится в список «Пропущенное ребро (дуга)».

4. После каждого включения ребра (дуги) в дерево просматривается список «Пропущенное ребро». После использования в дереве пропущенного ребра (дуги) оно вычеркивается из списка «Пропущенное ребро». Ребро (дуга) вычеркивается из списка «Пропущенное ребро» также и в том случае, если пропущенное ребро (дуга) приводит к образованию цикла (для неориентированного графа) или к двум путям в вершину (для ориентированного графа).

5. Пункты 3,4 повторяются до тех пор, пока не будут просмотрены все ребра (дуги) данной последовательности. Для ориентированного графа необходимо убедиться, что полученное дерево есть остовное дерево графа, т.е. из вершины-корня достижимы все вершины графа.

6. Полученное остовное дерево сравнить с имеющимися и, если нет повторения, занести в память (список деревьев).