2.2. Достижимость и обратная достижимость вершин графа

2.2.1. Матрица достижимостей и матрица обратных достижимостей

При исследовании и оптимизации дискретных систем на графовых моделях часто возникает вопрос, существует ли путь от вершины x_iк вершинеx_j. Если такой путь существует, то говорят, что вершинаx_j достижима из вершиныx_i. В ряде случаев необходимо определить достижимость за конечное число шагов вершиныx_jиз вершиныx_i, т.е. достижимость только на таких путях, длины которых не превосходят заданной величины.

Матрица достижимостей R[1,1] = {r_ij}и матрица обратных достижимостейQ[1,1] = {q_ij}определяется следующим образом:

r_{ij= {} 1, если вершинаx_j достижима изx_i, (2.3)

0 в противном случае;

q_{ij= {} 1, если из вершиныx_jможно достигнуть (2.4)

вершину x_i, 0 в противном случае.

2.2.2. Определение матриц достижимостей и обратных достижимостей с помощью прямых и обратных отображений

Обозначим через RM(x_i)множество вершин графа, достижимых из заданной вершиныx_i. Это множество состоит из таких элементовx_j, для которых элементr_ij(2.3) в матрице достижимостей равен 1. Очевидно, что все диагональные элементы в матрице достижимостейRравны 1, поскольку каждая вершина достижима из себя самой с помощью пути длиной 0.

Поскольку отображение Г(x_i), описанное в п.2.1.2, является множеством таких вершинx_j, которые достижимы изx_iс использованием дуг длиной 1 [т.е.Г(x_i)– такое множество вершин, для которых в графе существуют дуги(x_i,,x_j)],тоГ(Г(x_i)) = Г²(x_i)состоит из вершин, достижимых изx_iс использованием путей длиной 2. АналогичноГ^р(x_i)является множеством вершин, которые достижимы изx_iс помощью путей длиной Р.

Так как любая вершина графа, которая достижима из x_i, должна быть достижима с использованием пути (или путей) длиной 0, или 1, или 2,…,

или Р (с некоторым конечным, но, возможно, достаточно большим значением Р), то множество вершин, достижимых из x_i, можно представить в виде

RM(x_i) = {x_i}È Г(x_i) È Г²(x_i) È Г^р(x_i). (2.5)

Таким образом, множество RM(x_i)может быть получено последовательным выполнением (слева направо) операций объединения в соотношении (2.5) до тех пор, пока «текущее» множество не перестанет увеличиваться по размеру при очередной операции объединения. С этого момента последующие операции не будут давать новых членов множеству, и, таким образом, будет образовано достижимое множествоRM(x_i). Число объединений, которое нужно выполнить, зависит от графа, но, очевидно, что число Р меньше числа вершин в графе.

Имея RM(x_i)для всех вершин графа, можно построить матрицу достижимостейRтак. Положимr_ij = 1, еслиx_j Î R(x_i) и r_ij = 0в противном случае. Полученная таким образом матрицаRявляется матрицей достижимостей.

Для построения матрицы обратных достижимостей применим обратные отображения (п.2.1.3). Обозначим через QM(x_i)множество таких вершин графа, что из любой вершины этого множества можно достигнуть вершиныx_i.

Аналогично построению достижимого множества RM(x_i)на основе соотношения (2.5) можно «сформировать» множествоQM(x_i), используя следующее выражение:

QM(x_i) = {x_i} È Г^-1(x_i) È Г^-2(x_i) È … È Г^-р(x_i), (2.6)

где Г^-2(x_i) = Г^-1(Г^-1(x_i)и т.д.

Операция выполняется слева направо до тех пор, пока очередная операция объединения не перестанет изменять «текущее» множество QM(x_i).

Имея QM(x_i)для всех вершин графа, можно построить матрицу обратных достижимостейQ. Положимq_ij = 1, еслиx_j Î QM(x_i) и q_ij = 0в противном случае.

Из определений матриц RиQочевидно, что столбецx_iматрицыQсовпадает со строкойx_iматрицыR, т.е.Q = R^T.