4.2. Пример расчета попадания точки в заданную область
Задана таблица работоспособности объекта
Таблица 4.1
-
№ п/п
x1
x2
Работоспособность объекта
1
6
10
Да
2
1
8
Да
3
2
3
Да
4
7
5
Да
5
8
2
Да
6
11
6
Да
7
10
8
Да
Вопрос: будет ли работоспособен
объект с данными параметрами
?
Решение.Геометрическое представление исходных данных (рис. 4.4.)
0
Рис. 4.4. Координаты дискретного конечного множества элементов
Проведем построение области согласно алгоритму, изложенному в теоретической части работы.
1-й шаг. Берется(N + 1)точки вN-мерном пространстве, в нашем случаеN=2, т.е. берем точки 1, 2, 3.
Через каждые Nточек проводится гиперплоскость и заполняется таблица 4.2
Таблица 4.2
|
Прямая |
1 – 2 |
2 – 3 |
1 – 3 |
|
Вершина |
3 |
1 |
2 |
|
Координаты вершин |
2; 3 |
6; 10 |
1; 8 |
|
Координаты 1-й точки |
6; 10 |
1; 8 |
6; 10 |
|
Координаты 2-й точки |
1; 8 |
2; 3 |
2; 3 |
|
Уравнение прямой |
x1 – 2,5x2 + 19 = 0 |
x1 + 0,2x2 – 2,6 = 0 |
7x1 - 4x2 – 2 = 0 |
2-й шаг.Для точки 4 ищем генеральную гиперплоскость среди всех ранее построенных плоскостей. Является ли (1–2) генеральной гиперплоскостью для точки 4?
S (т.4) = 7 – 2,5 5 + 19 > 0,
S (т.3) = 2 – 2,5 3 + 19 > 0, т.е. (1–2), не является для точки 4 генеральной гиперплоскостью.
Для т. 4 генеральная гиперплоскость (1–3);
S (т.4) = 7 7 – 4,5 - 2 > 0,
S (т.2) = 7 1 – 4,8 - 2 < 0, т.е. (1–3) является для точки 4 генеральной гиперплоскостью.
Мы снова имеем (N + 1)точку – это1, 3, 4.
Через каждые Nточек проведем гиперплоскости (в данном случае прямые).
Для упрощения построения часть таблицы не заполняется.
-
Прямая
1 – 3
3 – 4
1 – 4
Вершина
4
1
3
После обработки каждой точки генеральная гиперплоскость и плоскости повторяющиеся (одни и те же плоскости в разных таблицах) вычеркиваются.
3-й шаг. Для точки 5 генеральная гиперплоскость (1–4)
-
Прямая
1 – 4
4 – 5
1 – 5
Вершина
5
1
4
а также (3 – 4)
-
Прямая
3 – 4
3 – 5
5 – 4
Вершина
5
4
3
4-й шаг. Для точки 6 генеральная гиперплоскость (1–5)
-
Прямая
1 – 5
5 – 6
1 – 6
Вершина
6
1
5
5-й шаг. Для точки 7 генеральная гиперплоскость (1–6)
-
Прямая
1 – 6
6 – 7
7 – 1
Вершина
7
1
6
Получили границу области работоспособности:
(1 – 2) – (2 – 3) – (3 – 5) – (5 – 6) – (6 – 7) – (7 – 1).
Для перехода от уравнений к неравенствам необходимо в линейную форму (левая часть равенства) поставить координаты вершины.
Если величина линейной формы положительна, то знак “=”заменяется на“”, если же отрицательна, то знак“=”заменяется на“”.
Пример:(1 – 2): x1 – 2,5x2 + 19 = 0.
S(т.3) = 2 – 2,5 3 + 19 > 0.
Соответствующее неравенство имеет вид: x1 – 2,5x2 + 19 0.
Полученная область имеет вид, представленный на рис. 4.5.
0
Рис. 4.5. Область решений системы неравенств
(1 – 2) x1 – 2,5x2 + 19 0,
(2 – 3) x1 + 0,2x2 – 2,6 0,
(3 – 5) x1 + 6x2 - 20 0,
(5 – 6) -x1 + 0,75x2 + 6,5 0,
(6 – 7) -x1 – 0,5x2 +14 0,
(7 – 1) -x1 - 2x2 + 26 0.
Проверка работоспособности объекта состоит в выполнении данных неравенств. Если хотя бы одно из неравенств не удовлетворяет условию, то точка не попадает в область.
Данная методика позволяет исключить сбойные результаты в экспериментах на основе адаптивных (последовательных) процедур. Адаптивность в данном случае означает отбрасывание случайных результатов до тех пор, пока численные характеристики распределения случайной величины будут изменяться незначительно. Построение линейной гиперплоскости для большого числа переменных не представляет сложной задачи и решается методами линейной алгебры.