
- •Лабораторная работа № 1
- •1.1. Основные операции над многомерными матрицами
- •1.1.5. Кронекеровское произведение многомерных матриц
- •1.1.6. Обращение многомерной матрицы
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание отчета
- •2. Основные определения теории графов
- •2.1.1. Задание графа множествами вершин и линий
- •2.1.2. Задание графа с помощью отображения
- •2.1.3. Задание графа с помощью обратного отображения
- •2.1.4. Матричное представление графа
- •2.2. Достижимость и обратная достижимость вершин графа
- •2.2.1. Матрица достижимостей и матрица обратных достижимостей
- •2.2.2. Определение матриц достижимостей и обратных достижимостей с помощью прямых и обратных отображений
- •2.2.3. Определение матриц ограниченных достижимостей
- •2.2.4. Определение матриц достижимостей и обратных
- •Лабораторная работа № 2
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание отчета
- •3.2. Алгоритм построения всех остовных деревьев графа на основе полного перебора последовательностей ребер или дуг
- •3.3. Определение кратчайшего остова неориентированного графа на основе упорядочения ребер графа (алгоритм Краскала)
- •3.4. Построение кратчайшего остовного дерева с помощью алгоритма Прима в табличной форме
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание отчета
- •4.2. Пример расчета попадания точки в заданную область
- •4.3. Алгоритм преобразования области в плоскостных координатах
- •4.4. Порядок выполнения работы
- •5.2. Пример решения задачи о максимальном потоке
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание отчета
- •Порядок выполнения работы
- •8.2.2. Нахождение приближенного решения
- •8.2.3. Oпределение оптимального решения
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание отчета
- •Библиографический список
- •Вопросы для итоговой аттестации по лабораторному практикуму
- •Содержание
- •390005. Рязань, ул. Гагарина, 59/1.
Порядок выполнения работы
1. Пройти режим обучения нахождения минимального остовного дерева в графе (программа ”Остов”) с помощью алгоритма Краскала.
2. Для заданного варианта выполнить в режиме контроля построение минимального остовного дерева в графе (программа ”Derevo”) с помощью алгоритма Краскала.
3. Пройти режим обучения нахождения минимального остовного дерева в графе (программа ”Остов”) с помощью алгоритма Прима.
4. Для заданного варианта выполнить в режиме контроля построение минимального остовного дерева в графе (программа ”Derevo”) с помощью алгоритма Прима.
Содержание отчета
1. Краткое описание алгоритма.
2. Матрица весов.
3. Графическое представление графа кратчайшего остовного дерева.
4. Выводы. Рекомендации по формированию пояснений на обучающем стенде в соответствии с результатами программного контроля.
Лабораторная работа № 4
Метод гиперплоскостей для построения выпуклой области дискретного конечного множества элементов
Цель работы
Теоретическое и практическое изучение алгоритма описания конечного множества элементов.
4.1. Теоретическая часть
Метод
гиперплоскостей заключается в
последовательном включении каждой
граничной точки в выпуклую оболочку и
в исключении гиперплоскостей,
оказавшихся внутри области.
Вычислительная процедура построения области работоспособности по граничным точкам методом гиперплоскостей заключается в выполнении следующих операций.
1
Рис.4.1.
Построение области работоспособности по
граничным точкам
Вершиной данной гиперплоскости условимся называть ту точку из выбранных (N + 1) точек, через которую не проводится гиперплоскость (на рис. 4.1 точки 1 и 2 являются соответственно вершинами гиперплоскостей 2-3 и 1-3).
2.Определяется для следующей, выбранной произвольно, граничной точки (точка 4) соответствующая ей генеральная гиперплоскость (прямая 1-3). Генеральной гиперплоскостью данной граничной точки будем называть гиперплоскость, вершина которой и данная граничная точка расположены по разные от нее стороны.
Генеральных гиперплоскостей для данной граничной точки может быть несколько (для точки 5 прямые 1-4, 3-4), особенно при построении многомерных областей работоспособности. Поэтому поиск генеральной гиперплоскости осуществляется среди всех ранее построенных гиперплоскостей.
Отсутствие генеральной гиперплоскости для граничной точки означает, что точка находится внутри области, образованной ранее проведенными гиперплоскостями. Наличие таких точек свидетельствует о невыпуклости множества точек, соответствующих работоспособным состояниям объекта.
3.Выполняется п.1 для данной граничной точки и точек, через которые была ранее проведена ее генеральная плоскость, найденная в п.2. Затем в памяти ЭВМ стираются значения коэффициентов генеральной гиперплоскости, координаты ее вершины и точек, через которые она проведена. В противном случае область может быть построена неверно, так как генеральная гиперплоскость пересекает ее, а также может быть принята за генеральную гиперплоскость для последующих граничных точек.
Аналогичные действия выполняются для каждой генеральной гиперплоскости, если их для данной граничной точки несколько. При этом среди вновь проведенных гиперплоскостей будут одинаковые (на рис. 4.1 через точки 4 и 5 дважды проводится прямая 4-5), информация о которых должна стираться в памяти ЭВМ по тем же причинам, что и для генеральных гиперплоскостей.
4.Выбирается следующая по порядку граничная точка, и все повторяется с п.2.
После перебора всех граничных точек процесс построения области работоспособности заканчивается и производится определение знаков “”, “” для системы линейных неравенств).
Блок-схема алгоритма построения области работоспособности по граничным точкам приведена на рис.4.2.
Блок 1
Производится выбор первых (N + 1)граничных точек из массива всех граничных точек.
Блок 2
Процедура построения гиперплоскости через заданные N граничных точек занимает центральное место в данном алгоритме. Коэффициенты гиперплоскости (неравенства) определяются в результате решения системы линейных алгебраических уравнений (N + 1)-го порядка. Систему получают в результате составления уравнений гиперплоскостей, записав вместо переменных координаты N точек, через которые необходимо провести гиперплоскость:
(4.1)
.
Так как количество неизвестных коэффициентов (N + I), то необходимо одному из них задать произвольное значение, например a = 1, Однако в этом случае невозможно построить гиперплоскость, параллельную оси координат X.
Аналогично, если присвоить значение другому коэффициенту b = 1 системы уравнений (4.1), то предлагаемый подход будет неприменим для построения гиперплоскостей, параллельных соответствующим осям координат, а при задании k 0 - для построения гиперплоскостей, проходящих через начало координат.
Нет
Нет
Нет Нет
11
Нет
12
Рис. 4.2. Блок-схема алгоритма
построения выпуклой области
дискретного конечного множества
элементов
С целью устранения второго недостатка вводятся (N + 1)-я переменная z и дополнительная точка (точка 4 на рис.4.3). Тогда построение гиперплоскости осуществляется в (N + 1)-м пространстве, а произвольное значение присваивается коэффициенту при переменной z. Координаты дополнительной точки (точка 4) необходимо выбирать такими, чтобы ни одна из гиперплоскостей не была параллельна оси координат (N + 1)-й переменной z. Это требование выполняется, если значение хотя бы одной из координат дополнительной точки (не считая координаты по оси z) меньше минимального или больше максимального значения соответствующей координаты множества граничных точек. Значения остальных координат задаются произвольно.
В результате решения системы (N + 1)-го порядка (4.1) определяются значения коэффициентов (N + 1)-й гиперплоскости. Исключение из уравнений гиперплоскостей дополнительной переменной позволяет получить область в N-мерном пространстве (заштрихованная область на рис. 4.3).
Блоки 3, 4
Производится проверка - первые ли (N + 1) гиперплоскостей построены. Если первые, то осуществляется поиск генеральной гиперплоскости. В противном случае выполняется проверка - все ли генеральные гиперплоскости найдены и использованы при построении гиперплоскостей для данной граничной точки.
Блоки 5, 6
После построения всех гиперплоскостей для данной граничной точки внутри области работоспособности оказываются генеральная гиперплоскость и одна или несколько пар одинаковых гиперплоскостей, если генеральных гиперплоскостей больше одной (рис. 4.2).
Как
указывалось ранее, при дальнейшем
построении выпуклой
оболочки эти
гиперплоскости могут быть приняты за
генеральные для последующих граничных
точек, что приведет к неправильному
построению области работоспособности.
Поэтому при переходе к следующей
граничной точке значения их коэффициентов
необходимо исключить.
Рис. 4.3. Введение дополнительной точки
Блоки 7, 8
Проверяется наличие граничных точек. Если есть граничные точки, которые еще не включены в выпуклую оболочку, то выбирается следующая точка из массива граничных точек и процесс построения области работоспособности продолжается далее.
Блок 9
Поиск генеральной гиперплоскости осуществляется среди всех ранее построенных гиперплоскостей в результате подстановки в уравнение каждой гиперплоскости координат ее вершины и данной граничной точки. Признаком генеральной гиперплоскости является противоположность знаков результатов подстановки.
Блок 10
Проверяется наличие для выбранной граничной точки хотя бы одной генеральной гиперплоскости. Отсутствие генеральной гиперплоскости для данной граничной точки свидетельствует о том, что точка оказалась внутри области работоспособности и данная точка может быть исключена.
Блок 11
Для найденной генеральной гиперплоскости производится поиск координат N точек, по которым она была построена.
Блок 12
Знаки неравенств “” и " " определяются в результате подстановки координат вершин гиперплоскости в уравнение гиперплоскости. При этом используется свойство вершин принадлежать области работоспособности. Символ "” соответствует отрицательному знаку результата подстановки, символ “” - положительному. Для удобства использования результатов построения области работоспособности все неравенства приводятся к виду “0”.
Диалоговое меню
Система меню ориентирована на реализацию всех этапов построения области работоспособности.
1 - вычисление величины критерия по параметрам T и (вычисляется критерий при заданных пользователем T, ).
2 – построение прямой через две заданные точки (на печать выводятся коэффициенты А,В,СпрямойAT + B + C = 0).
3 – построение области работоспособности [по граничным точкам, заданным в строгой последовательности их расположения вдоль границы (направление обхода граничных точек не играет роли), строится система граничных прямых в координатах: T - ось координат, - ось абсцисс].
4 - вычисление линейной формы (вычисление левой части уравнения прямой AT+ B + C Sпри заданных пользователемT,).
5 - построение графика переходного процесса (строится график переходного процесса объекта контроля h(t), где вертикальными линиями отмечаются допустимые значения критерия качества - минимальное и максимальное время регулирования tpmin, tpmax).
6 - справочная информация (содержит рекомендации по выполнению лабораторной роботы).
7 - конец работы.