61

Лабораторная работа № 1

^{Упорядоченные множества элементов. Структура}

^{и способы представления многомерных матриц}

^{Цель работы}

^{Ознакомление с возможностью построения моделей дискретных систем с многоиндексными переменными на основе многомерных матриц, изучение основных операций над многомерными матрицами.}

^{Теоретическая часть}

Круг задач, которые представляются дискретными моделями, чрезвычайно широк и разнообразен: графы, транспортные потоки, логические системы, информацинно-поисковые системы, системы распознавания образов и многие другие. Особую трудность в решение дискретных задач вносит специфика многоуровневого управления, заключающаяся в том, что в дискретных моделях используются многоиндексные переменные. Например, множество А{i,j,k,l,m}, А - оценка, i- номер предмета,j- номер преподавателя,k- время, l- номер группы,m- номер студента удобно представлять с помощью многомерных матриц.

Многомерной матрицей (ММ) называется упорядоченная совокупность многоиндексных элементов _i1i2…i,гдеi_=1,2,…,n_;Целые положительные числа,N_A=n₁n₂…n_,n_называются соответственно размерностью матрицы А, размером матрицы А, размером индексаi_. Размерностьпоказывает число индексов в обозначении элементов_i1i2…iматрицы. РазмерN_AматрицыАуказывает общее число элементов матрицы. Размер индексаn_показывает, сколько значений (от 1 доn_) пробегает соответствующий индекс.

Структура многомерных матриц определяется структурой их индексов. Структура индекса может быть столбцовой или строчной. Индексы, имеющие, например, строчную структуру (строчные индексы), показывают положение элементов внутри какого-либо столбца. При индексном представлении элементов матрицы целесообразно ставить знак + или – соответственно над столбцовым или строчным индексом. Например, - элементы обычной двухмерной (плоской) матрицы. Общее представление многомерной матрицы А имеет видА = А(p,g), где р – число столбцовых индексов,g– число строчных индексов. Для получения индексного представления многомерной матрицы вводится помечивание индексов. Пометка начинается с последнего индекса, который приg0 принимается за строчный. Далее столбцовые и строчные индексы чередуются до тех пор, пока один из видов индексов не исчерпывается. Приpgвсе оставшиеся индексы принимаются за столбцовые, приpg– за строчные. Числаpиgв сумме дают размерностьматрицы А:p+g=. Если матрица А является функциональной, например зависит от времениt, от пространственных координатx,yи т.д., то структурные числаpиgследует отделять от аргументов точкой с запятой, напримерA=A(p,g;t,x,y). Для наглядного представления многомерной матрицы используют табличное представление.Табличное представление многомерной матрицы – это блочно-иерархическая таблица, отображающая на плоскости структуру матрицы и численные значения элементов. Иерархия согласована с иерархией индексов таким образом, что крайним левым индексам соответствуют наиболее крупные блоки. При этом столбцовые индексы изменяются в столбцах, а строчные – в строках. Примеры представления многомерных матриц приведены в табл.1.1.

Таблица 1.1

Общее представление	Индексное представление	Табличное представление
А(0,1)	{} i =	i = 1 i = 2
А(1,2)	{} i,j,k =	i=1 i=2 k=1 k=2 k=1 k=2 j=1 111 112 211 212 j=2 121 122 221 222

В некоторых частных, но важных случаях приходится пользоваться плоскими табличными представлениями многомерной матрицы, которые являются обычными плоскими матрицами и получаются из табличного представления путем снятия всех перегородок. Их обозначают следующим образом:А_табл = {A(p,g)}_табл.

В ряде случаев записи математических выражений удобно представлять многомерные матрицы с помощью мультииндексов

, (1.1)

где ⁺ - столбцовый мультииндекс, имеющий вид столбца

⁺ = [i₁⁺, i₂⁺,…,I_p⁺]^T;

- строчный мультииндекс, имеющий вид строки =[j₁^-, j₂^-,…,j_q^-]^T.

Следует отметить, что обозначение мультииндексов в соотношении (1.1) является условным, так как индексы должны располагаться в соответствии с правилом помечивания, т.е. чередоваться, а не группироваться по столбцовому и строчному признакам, как это следовало бы из буквального понимания соотношения (1.1).