График функции в окне Анализатора.
2.8. График функции в окне Анализатора.
Объем программы – 1.7 Кбайт, среднее время вычисления одного значения 3.45 мс.
3.2. Вычисление функции с фиксированной точкой в целых числах и выбор масштабов.
Рассматриваем применение вычислений функций с фиксированной точкой как необходимые для ЭВМ, в которых основной машинный формат целый или дробный. Функции как и в библиотеке match.c для FP, представлены рядами Тейлора.
Некоторые приближения реально не применяются для вычислений и имеют смысл как учебные для демонстрации применения рекурсивных вычислений. Например, 1/(1+x) включают две простые операции, но в приближениях используется также полиномиальная формула со строгим неравенством в определении диапазона сходимости..
Функции в задании представлены разложением в ряд Тейлора, например,
(2.8) sinx ~ x/1 – x3/3! + x5/5! – x7/7! + при всех х
Вычисления выполняются по схеме Горнера[1] с числом членов ряда 3-4 или по формуле с общим членом ряда, а при большом числе членов ряда – по рекуррентной формуле.
Схема Горнера приводится к рекуррентным формулам
sinx ~ x/1 – x3/3! + x5/5! – x7/7! = x(1-x2/6(1-x2/20(1-x2/42)) =S
рекуррентная формула
Si+1= 1-x2/ai*Si
S0=1; i=0,1,2
S3=xS2
Выберем аргумент в диапазоне дробных чисел 0- 0.99 радиан.
Система команд ЭВМ поддерживает вычисления с целыми числами. Для применения этих же команд арифметики выполняется Масштабирование дробных значений, которое переводит диапазон дробных в диапазон целых
x’= x*m;
Для сохранения масштаба результата используем следующие преобразования
sinx’~ x’ – x’3/m2/3! + x’5/m4/5! – x’7 /m6/7!
Вычисления c целыми по схеме Горнера
(2.9) sinx’~ x’(m – x’2/m/6(m - x’2/m/20(m – x’2/m/42)/m))/m)/m
рекуррентная формула
Si+1 = m - A*Si/(m*(i+1)*(i+2)), A= x2/m, i=1,2,3
или по формуле c общим членом ряда S~ x – S1 +S2 –S3
Si+1 = Si* A/(m*(i+1)*(i+2)), A= x2/m
Выбор масштаба.
Величину масштаба ограничивает заданная точность вычислений и размер формата данных. Например, для 8-разрядных вычислений и точности 2 знака после запятой
102 ≤ m ≤ 28
a)Вычисления с масштабом m=100 в Си занимает 1.2 мс и объем программы 219 байт.
При вычислениях по формуле 2.9. требуется подпрограмма целого деления
Для упрощения вычислений целесообразно выбирать масштаб m=28
b) При m=28
x*(0x100 – x*x/28/6*(0x100 + x*x/28/20*(0x100 – x*x /28/42)/ 28)/ 28 )/ 28
Диапазон x=[0-1] с масштабом [28-1] представим в диапазоне x=[0-255]
Деление на 28 заменяем простым сокращением 16-битового формата до 8-битового.
#include <reg51.h>
unsigned int x,y, sin;
main()
{
while(1)
for(x=0; x<=0x100; x++)
{ y=(x*x)>>8;
sin=(y/20*(0x100-y/42))>>8;
sin= (y/6*(0x100-sin))>>8;
P3=sin= (x*(0x100-sin))>>8;
}
}
Объем программы 260 байт, среднее время вычисления 0.25 мс
Выполнить вычисления с масштабами m=100, 128,256 — сравнить время вычислений и объем программ и вычисления с выбранным масштабом реализовать в Макроассемблере.