3.2. Двоичная арифметика

Основные машинные двоичные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление (в некоторых ЭВМ, например, ЛИТМО1 использовалась операция извлечения квадратного корня).

Операция двоичного сложения –базовая арифметическая операция, выполняется аппаратно схемой арифметико-логического устройства (ALU) ЭВМ.

ALU выполняет сложение, вычитание и поразрядные логические операции И, ИЛИ, НЕ, ИСКЛ_ИЛИ.

Операции умножения и деления двоичных чисел в MCU могут выполняться программно в соответствии с известными алгоритмами, в которых применяются операции ALU.

Предлагается познакомиться с практическим использованием некоторых алгоритмов для чисел без знака в программах умножения, деления и квадратного корня.

Реализация в Си имеет смысл для демонстрации и отладки алгоритма, однако может иметь некоторые ограничения с использованием стандартных форматов. Программа в Ассемблере, по существу, имеет отношение к аппаратной реализации и позволяет реализовать алгоритм без этих ограничений.

3.2.1. Умножение беззнаковое

Как следует из раздела 2.1, двоичные коды (n)-разрядных дробных чисел и соответствующих целых в масштабе 2ⁿ совпадают. Следовательно, двоичные коды дробных произведений в масштабе 2²ⁿ также совпадают с соответствующими целыми произведениями и алгоритмы дробных произведений применимы к целым.

Метод умножения двоичных целых без знаков

S=A*B=A(B=b_n-1..b₀ ) = A(b_n-12^n-1 + … +b₁2¹+b₀2⁰)=

=(0+Ab_n-1 )*2+ Ab_n-2 )*2+… +_Ab₀ =>

S₀=0 => S₁=2S₀+Ab_n-1 S₂= 2S₁+Ab_n-2… 2S_n-1 +Ab₀

Рекуррентная формула вычисления целого произведения со стороны старших разрядов

4. S_i+1=2S_i+Ab_{n-I ,} S₀ =0. i=1,...n или

Рекурсивная функция

S(i+1)=2S(i) +Ab_n-I

4. с общим членом ряда со стороны младших разрядов

S_i+1=S_i+B_ib_{n-i ,} B_i+1=2B_i S₁ =0, B₁=1; i=n…1

Схема умножения по формуле (2.4) приведена на рис. 2.2. и применима как к целым, так и к дробным в масштабах 2ⁿ в Ассемблере и в Си.

(b_n-i) 2n-1 n 0 shl

B/S S

+ A

n-1 0

Рис.2.2. Схема умножения целых чисел.

В схеме используются (2n+1)-разрядный регистр хранения произведения, в старших n разрядах размещается множитель B. Промежуточный разряд (n) добавляется, чтобы сохранить возможный при суммировании перенос в старшем разряде промежуточного произведения.

(n)- разрядный регистр множимого A.

Цикл умножения в С.

For(char i=0; i<8; i++)

S= (S&0x8000) ? (S<<1) +A : S<<1;

Метод умножения двоичных дробных без знаков

S=A*B=A(B=0.b₁b₂..b_n ) = A(b₁2^-1 + b₂2^-2 .. +b_n-12^-n+1+b_n2^-n)=

= Ab₁2^-1 + Ab₂2^-2.. +Ab_n-12^-n+1+Ab_n2^-n =

=2^-1 (Ab₁ + 2^-1(Ab₂ +… +_2^-1(Ab_n-1 + 2^-1(Ab_n +0))..)=>

S₀=0 => S₁=2^-1(S₀+Ab_n) S₂= (S₁+Ab_n-1)2^-1

Рекуррентная формула вычисления дробного произведения со стороны младших разрядов

4. S_i+1=2^-1(S_i+Ab_n-i) _, S₀ =0, i=0,..n-1

Рекурсивная функция S(i+1)-(S(i) + Ab_n-i)/2

На рис 2.3 приведена схема размещения операндов на регистрах ЭВМ, которая может быть использована для программирования в Ассемблере и в аппаратной реализации умножения по формуле 2.6 .

(b_n-i)

С

Рис. 2.3. Схема умножения дробных.

Множитель B размещается в младших разрядах регистра-произведения B/S, младший разряд этого регистра S[0] при сдвиге вправо сохраняет текущее значение b_n-i

Суммирование выполняется в старших (n)-разрядах формата частичных произведений (Очевидно, Ab_n-i =A или 0 для двоичной цифры b_n-i={0,1}.

Схема может быть использована при вычислении 2n-разрядного целого произведения S в масштабах 2^(-n).

При умножении дробных (n)-разрядных чисел с фиксированной запятой 2n-разрядное произведение имеет абсолютную погрешность усечения

2^(-2n) <=  < 2^((-n)-1)

При этом можно ограничиться вычислением и сохранением только старших (n) разрядов произведения.( = 2^(-n)), если в дальнейшем не используется деление дроьных.

Схема умножения дробных чисел считается более простой и применима к целым с учетом масштабов.

Схема размещения операндов для реализации в Си приведена на рис 2.4.

,

*

Рис. 2.4. Схема умножения в Си.

Здесь выровнены форматы для согласования при сложении в Си.

Признак переноса при суммировании явно не контролируется, поэтому диапазон чисел при выполнении операций на один разряд меньше или форматы операндов приходится удваивать.

В Ассемблере эти ограничения отсутствуют и можно получить правильный результат во всем диапазоне 8-разрядных чисел без знака.