Представление числа в дополнительном коде

При записи числа в дополнительном коде старший разряд является знаковым. Если его значение равно 0, то в остальных разрядах записано положительное двоичное число, совпадающее спрямым кодом. Если число, записанное в прямом коде, отрицательное, то все разряды числа инвертируются, а к результату прибавляется 1. К получившемуся числу дописывается старший (знаковый) разряд, равный 1.

127                 01111111                 01111111  

1                  00000001                 00000001         

0                 00000000                 00000000               

Преобразование числа из прямого кода в дополнительный осуществляется по следующему алгоритму.

1. Если число, записанное в прямом коде, положительное, то к нему дописывается старший (знаковый) разряд, равный 0, и на этом преобразование заканчивается;

2. Если число, записанное в прямом коде, отрицательное, то все разряды числа инвертируются, а к результату прибавляется 1. К получившемуся числу дописывается старший (знаковый) разряд, равный 1.

Преимущества

• Один и тот же регистр может хранить как n-битовое положительное число, так и (n−1)-битовое число со знаком, с общими для обоих форматов операциями сложения, вычитания и левого сдвига.

• Более удобная упаковка чисел в битовые поля.

• Отсутствие числа «минус ноль».

Недостатки

• Дополнительный код неочевиден для новичков.

• В сложных форматах (таких, как плавающая запятаяилидвоично-десятичный код) большинство преимуществ аннулируются.

• Модуль наибольшего числа не равен модулю наименьшего числа. Пример: знаковое целое 8-байтовое. Максимальное число: 127₁₀== 7F₁₆== 01111111₂. Минимальное число: -128₁₀== 80_{16,дополнительный код}== 10000000_{2,дополнительный код}. Соответственно, не для любого числа существует противоположное. Операция изменения знака может потребовать дополнительной проверки.

11. Представление дробных чисел в ЭВМ: форматы с фиксированной, плавающей точкой.

Память ЭВМ построена из запоминающих элементов, обладающих двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует нулю, а другое - единице. Таким физическим элементом представляется в памяти ЭВМ каждый разряд двоичного числа (бит). Совокупность определенного количества эти элементов служит для представление многоразрядных двоичных чисел и составляет разрядную сетку ЭВМ.  Каждая группа из 8-ми запоминающих элементов (байт) пронумерована. Номер байта называется его адресом. Определенное число последовательно расположенных байт называется словом. Для разных ЭВМ длина слова различна - два, четыре или восемь байт. (Мне думается, что это зависит от разрядности процессора). 

С фикс. Точкой: При представлении в ЭВМ чисел в естественной форме устанавливается фиксированная длина разрядной сетки. При этом распределение разрядов между целой и дробной частями остается неизменным для любых чисел. В связи с эти в информатике существует другое название естественной формы представления чисел - с фиксированной точкой (запятой).  Работая на компьютере, мы можем вводить числа с фиксированной запятой в любом виде. Так же они будут высвечиваться на экране компьютера, но перед занесением в память компьютера они преобразуются в соответствии с разрядной сеткой и хранятся либо с запятой, фиксированной после последнего разряда (целые числа), либо с запятой перед старшим разрядом дроби.  Любые дробь и число в двоичной системе счисления соответственно имебт вид: Дробь Целое.

С плавающей:

Неудобство представления чисел в форме с фиксированной точкой проявляется при решении задач, в которых фигурируют как очень малые так и очень большие числа В конкретных физических, математических и других задачах диапазон изменения величин может составлять, например от 10-30 до 1030. Можно убедиться, что в представлении с фиксированной запятой понадобились бы двоичные слова длинной около 256 бит (32 байт), по 128 бит на целую и дробную части. Однако работа ЭВМ с операндами такой длины былабы крайне неэффективной.  Точнось числа определяется не его длиной, а количеством верных значащих цифр.

Положение запятой может изменяться. Поэтому в информатике представление в ЭВМ числа в экспотенциальной форме называются представлением с плавающей точкой (запятой). Для однозначности представления чисел с плавающей точкой используется нормализованная форма:  A = m x q p, - где:  m - мантиса числа, q - основание системы счисления, p - порядок числа.

12 Представление отрицательных чисел в ЭВМ: прямой, смещенный коды.

Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, на­зываемых цифрами. Существуют различные системы счисления. От их особенностей зависят наглядность представления числа при помощи цифр и сложность выполнения арифметических операций.

Наглядность представления чисел и сравнительная простота выполнения арифметических операций характерны для позици­онных систем счисления.

Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число.

Позиционной является десятичная система. В основе десятичной системы лежат цифры от 0 до 9. Например, число 1 является единицей, то же число занимающее вторую позицию в последовательности 10 – является десятком. По­мимо десятичной существуют другие позиционные системы. Не­которые из них нашли применение в вычислительной технике.

В ЭВМ применяют позиционные системы счисления с не­десятичным основанием: двоичную, шестнадцатеричную, восьме­ричную и др.

 

Наибольшее распространение в ЭВМ имеет двоичная систе­ма счисления. В этой системе используются только две цифры: 0 и 1.

В двоичной системе любое число может быть представлено последовательностью двоичных цифр

X= a_m a_m-1….a₀.a _-1a _-2….,

гдеа -  либо 0, либо 1

      m – представляет позицию числа в последовательности цифр.

Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными в ней коэффициентами:

X = a_m*2^m + a_m-1*2^m-1 + … + a₀*2⁰ + a _-1*2 ^{– 1} + a _{- 2}*2 ^-2  + …,

Например, двоичное число

(10101 101.101)₂ = 1*2 ⁷ + 0*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2 ^-1 + 0*2 ^-2 + 1*2 ^-3,

как следует из приведенного разложения его по степеням числа 2, соответствует десятичному числу

( 173.625) ₁₀.

В восьмеричной системе употребляются восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Любое число в восьмеричной системе представляется последовательностью цифр:

X= a_ma_m-1….a₀.a_-1a_-2….,

где а – могут принимать значения от 0 до 7.      m – представляет позицию числа в последовательности цифр.

Например, восьмеричное число

 (703.04)₈ = 7*8 ² + 0*8¹ + 3*8⁰ + 0*8^-1 + 4*8^-2  = (451. 0625)₁₀,

В шестнадцатеричной системе для изображения чисел упот­ребляются 16 цифр: от 0 до 15, при этом, чтобы одну цифру не изображать двумя знаками, приходится вводить специальные обозначения для цифр, больших девяти. Обозначим первые десять цифр этой системы цифрами от 0 до 9, а старшие пять цифр — латинскими буквами: 10 — А, 11 — В, 12 — С, 13 — D, 14 — Е, 15 — F.

Например, шестнадцатеричное число

(В2Е.4)₁₆= 11 * 16² + 2* 16¹ + 14* 16⁰ + 4* 16^-1 = (2862.25) ₁₀.

В настоящее время в большинстве ЭВМ используются дво­ичная система и двоичный алфавит для представления и хране­ния чисел, команд и другой информации, а также при выпол­нении арифметических и логических операций.

Шестнадцатеричная и восьмеричная системы применяются в текстах программ для более короткой и удобной записи двоич­ных кодов команд, адресов и операндов.

Прямой, обратный и дополнительные коды.

Когда числа записываются в десятичной системе, часто чис­ло представляется в виде абсолютной величины, которой пред­шествует знак + или - указывающий на то, является оно по­ложительным или отрицательным. Поэтому +125 является положительным числом 125, а -125 — отрицательным числом 125.  Для обра­ботки как положительных, так и отрицательных чисел ЭВМ должна иметь некоторые средства различения положительных и отрицательных чисел. Машинное слово со­держит разряд знака, как правило предшествующий старшему разряду в машинном слове.

Где  1 в разряде знака соответствует отрицательному числу, а 0 в раз­ряде знака — положительному числу.

Выше было рассмотрено представление числа в виде знака и абсолютной величины. Однако чаще используются системы записи в обратном и дополнительном кодах. В настоящее время дополнительный код используется наиболее часто.

Преимущест­во такого представления отрицательных чисел состоит в том, что сумма и разность как положительных, так и отрицательных чисел могут вычисляться с помощью только одного  типа сумматора.

Существуют три основные системы записи:

1.  Отрицательные  числа   могут  храниться   в  прямом  коде. Поэтому   двоичное   число  -0011    будет   храниться   в   виде 1.0011, где 1 указывает на то, что это число отрицательное, а 0011 обозначает его абсолютную величину.

2.  Для записи отрицательного числа можно воспользоваться обратным кодом. При этом двоичное число —0111 будет пред­ставлено в виде 1.1000, где 1 указывает на то, что число отри­цательное.  1000 является дополнением его абсолютной величи­ны до  1.   (Дополнение абсолютной величины до  1  получается путем отрицания каждого ее бита.)

3.  Для представления отрицательных двоичных чисел мож­но использовать дополнительный код. Например, число —0111 будет храниться как 1.1001, где 1 в разряде знака показывает, что   число  отрицательное,   1001—дополнение  его  абсолютной величины до двух. (Дополнение до двух формируется путем от­рицания   каждого  бита   абсолютной   величины 0111,  что дает 1000, и прибавлением 1 к младшему биту, в результате чего по­лучается 1001.)

Смысл смещенного кода - представить числа со знаком в виде беззнаковых так, чтобы сохранился их естественный порядок. При этом самое маленькое отрицательное число представляется нулём, самое большое положительное - числом из одних единиц, а ноль попадает в середину диапазона и представляется одной единицей с нулями после нее.

Представление числа в привычной форме "знак"-"величина", при которой старший разряд ячейки отводится под знак, а остальные - под запись числа в двоичной системе, называется прямым кодом двоичного числа. Например, прямой код двоичных чисел 1001 и -1001 для 8-разрядной ячейки равен 00001001 и 10001001 соответственно. Положительные числа в ЭВМ всегда представляются с помощью прямого кода. Прямой код числа полностью совпадает с записью самого числа в ячейке машины. Прямой код отрицательного числа отличается от прямого кода соответствующего положительного числа лишь содержимым знакового разряда. Но отрицательные целые числа не представляются в ЭВМ с помощью прямого кода, для их представления используется так называемый дополнительный код.

13 Энтропийный подход к измерению объема информации. Понятие вероятности, энтропии. Количественный подход к измерению объема данных. Единицы измерения.

Колличественный подход:

Количество информации можно рассматривать как меру уменьшения неопределенности знания при получении информационных сообщений.

Например, сообщение о получении зачета приводит к уменьшению неопределенности нашего знания в 2 раза (один из двух возможных вариантов). Сообщение об оценке за экзамен (из 4 возможных вариантов - "5", "4", "3" или "2") уменьшает неопределенность в 4 раза. Т.о., чем более неопределенна первоначальная ситуация, тем больше информации мы получим при получении информационного сообщения.

Такой подход позволяет количественно измерять информацию:

, где N -количество возможных информационных сообщений, I - количество информации, которое несет полученное сообщение.

Бит - это количество информации, которое уменьшает неопределенность знаний в 2 раза.

Поэтому, сообщение о получении зачета несет 1 бит информации. Сообщение об оценке на экзамене, несет 2 бита информации. Сообщение о том в каком ряду и на каком месте находится зритель в театре, если всего 8 рядов по 16 мест, несет 7 бит информации (8*16=128=2⁷).

И наоборот, если известно, что узнав номер квартиры в которой живет человек, вы получили 6 бит информации. то можно определить, что в доме 64 квартиры.

8 бит = 1 байт, 1 Кбит = 1024 бит.

1 Кбайт = 1024 байт = 2¹⁰ байт, 1 Мбайт = 1024 Кбайт = 2¹⁰ Кбайт = 220 байт, 1 Гбайт = 1024 Мбайт, 1 Терабайт = 1024 Гбайт.

Энтропия.

Энтропия в информатике — степень неполноты, неопределённости знаний.

Понятие вероятности.

Вероя́тность (вероятностная мера) — численная мера возможности наступления некоторого события.

14 Понятие логических значений, переменных, операций, функций, таблиц истинности.

Лог. Значения:

• true - имеет смысл «да», «верно», «истина».

• false - означает «нет», «неверно», «ложь».

Лог. Переменные:

ЛОГИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ [logical variables] — знаки и формулы, которые могут принимать различные значения в зависимости от содержания обозначаемых ими высказываний.

Лог. Операции:

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ [logical operations]. С какой-то степенью точности можно сказать, что математическая логика занимается изучением правил вывода определенных положений без конкретизации самих этих положений (безотносительно к их содержанию), примерно так, как геометрия связана с наукой о пространстве.

Одно из основных понятий математической логики — высказывание. Не стремясь к излишней математической строгости, можно сказать, что высказывание — это выражение, относительно которого можно сделать вывод o его истинности или ложности. Напр., “Ах!” — это не высказывание. А выражение “Иван Иванович Иванов ~ телевизор” — высказывание, так как можно утверждать: оно ложно.

Знак ~ заменяет здесь слово “эквивалент” и связывает два имени: “Иван Иванович Иванов” и “телевизор”. Каждое из этих имен высказыванием не является, тогда как все выражение — высказывание.

Над высказываниями можно производить определенные операции. Напр., если заданы два высказывания, обозначенные логическими переменными A и B, то можно составить новое высказывание “A и B”. При этом связка “и” заменяется символом; тогда запишем “A ^ B”. Можно также составить выражение “A или B”. Связка “или” обозначается с помощью символа v. Можно представить высказывание “из A следует B”: “A => B”. Наконец, можно составить отрицание данного высказывания: “не A”.

Другие операции:

Конъюнкция ("И")			Дизъюнкция ("ИЛИ")
A	B	A^B	A	B	AvB
И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л	И
Л	И	Л	Л	И	И
Л	Л	Л	Л	Л	Л
Импликация ("если ..., то")			Эквивалентность ("равносильно")
A	B	A=>B	A	B	A≡B
И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	И	Л
Л	Л	И	Л	Л	И

Таблица истинности:

Таблица истинности – таблица,описывающая логическую функцию

15 Совершенные конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы логических функций.