Билет № 1 Информация — сведения об объектах и явлениях окружающей среды, их параметрах, свойствах и состоянии, которые воспринимают информационные системы (живые организмы, управляющие машины и др.) в процессе жизнедеятельности и работы. Данные - 1) сведения, необходимые для какого-либо вывода, решения, процедуры (например: много данных, цифровые данные); 2) основания для чего-нибудь, качества (например: голосовые данные, иметь все данные для получения премии). Электро́нная вычисли́тельная маши́на (ЭВМ)— вычислительная машина, построенная с использованием в качестве функциональных элементов электронных устройств вместо механических. Термин употреблялся для отличия от исторического предшественника— механической вычислительной машины. Большинство современных процессоров для персональных компьютеров в общем основаны на той или иной версии циклического процесса последовательной обработки данных, изобретённого Джоном фон Нейманом. Дж. фон Нейман придумал схему постройки компьютера в 1946 году. Отличительной особенностью архитектуры фон Неймана является то, что инструкции и данные хранятся в одной и той же памяти. В различных архитектурах и для различных команд могут потребоваться дополнительные этапы. Например, для арифметических команд могут потребоваться дополнительные обращения к памяти, во время которых производится считывание операндов и запись результатов. Билет № 2 • Система счисле́ния— символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Число — это некоторая абстрактная сущность для описания количества. • Цифры — это знаки, используемые для записи чисел. Цифры бывают разные: самыми распространёнными являются арабские цифры, представляемые известными нам знаками от нуля (0) до девяти (9); менее распространены римские цифры, мы их можем иногда встретить на циферблате часов или в обозначении века (XIX век). Итак запомним: • число — это абстрактная мера количества; • цифра — это знак для записи числа. Поскольку чисел гораздо больше чем цифр, то для записи числа обычно используется набор (комбинация) цифр. Только для небольшого количества чисел — для самых малых по величине — бывает достаточно одной цифры. Существует много способов записи чисел с помощью цифр. Каждый такой способ называется системой счисления. Величина числа может зависеть от порядка цифр в записи, а может и не зависеть. Это свойство определяется системой счисления и служит основанием для простейшей классификации таких систем.

2. Системы счисления. Понятие, характеристики, разновидности, примеры. [Ключевые термины: система счисления, характеристики (основание, алфавит системы счисления). Разновидности систем счисления: непозиционные, позиционные (с постоянным, переменным основанием). Примеры систем счисления.]

Система счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления – способ записи чисел с помощью набора специальных знаков,

называемых цифрами. Системы счисления бывают позиционные и непозиционные.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа,

зависит от ее положения в числе (позиции). Пример позиционной системы счисления – это

арабская (наша с вами), а непозиционной – римская.

Основание системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. Например, в десятичной системе используются десять символов (цифры от 0 до 9), следовательно основание системы десять.

Алфавит системы счисления — это совокупность символов, используемых в данной системе счисления.

Количество информации, содержащейся в символьном сообщении, равно Кхi, где К – число символов в тексте сообщения, аi- информационный вес символа, который находится из уравнения 2^i=N, гдеN- мощность используемого алфавита

Все системы счисления подразделяются на два класса — позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

1.1. Позиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество различных цифр р, используемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием р-ой системы счисления.

Позиционная систе́ма счисле́ния — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = anPn + an-1Pn-1 + ... + a1P1 + a0P0 + a-1P-1 + ... + a-mP-m

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Примером непозиционной системы счисления служит римская система, в которой вместо цифр используются латинские буквы.

Например: Число 242 можно записать ССXLII (т.е. 100+100+(50-10) +1+1).

рассмотрим особую разновидность позиционных нумераций с переменным основанием (ранее приводившиеся рассуждения относились к нумерациям с фиксированными основаниями - 2, 8, 10 и прочими).

С ними нам приходится встречаться, но, в основном, не при вычислениях. Скажем, меры длины, меры весов, в которых используются не-десятичные коэффициенты при переходе от "младших разрядов" измерения к "старшим" (например, футы-ярды-мили).

Пример же с измерением времени, вообще, универсален: секунды-минуты-часы. Скажем, сейчас у меня 17:47:00. Ничто не мешает заменить эту форму записи на более компактную (174700), не забывая при том, что диапазон значений младшего (нулевого) разряда 0..9, следующего левее (первого) - 0..5, далее, соответственно, - 0..9, 0..5, а затем и совсем "странный" диапазон 0..24 (иногда заменяемый на 0..12).

Системы счисления : двоичная, десятичная, единичная, троичная, шестнадцатеричная, восьмеричная, и т.д.

2. Понятия весов символа алфавита системы счисления, разряда числа. Отличия выполнения арифметических операций в различных системах счисления. [Значение понятия веса символа алфавита системы счисления, в числе, веса разряда. Отличия выполнения арифметических операций в позиционных системах счисления с различным основанием (модуль счета).]

информационный вес символа двоичного алфавита принят за единицу информации и называется 1 бит. Вводится формула: , где— информационный вес каждого символа, а— мощность алфавита, такжеI- количество информации , которое несет один знак.

  Количество информации, содержащееся в символьном сообщении, равно К х i, где К – число символов в тексте сообщения а i – информационный вес символа, который находится из уравнения 2ⁱ = N, где N – мощность используемого алфавита.

Под алфавитом мы будем понимать набор букв, знаков препинания, цифр, скобок и др. символов, используемых в тексте. В алфавит также следует включить и пробел, т. е. пропуск между словами.

Полное число символов в алфавите принято называть мощностью алфавита.

Будем обозначать эту величину буквой N. Например» мощность алфавита из русских букв и отмеченных дополнительных символов равна 54: 33 буквы + 10 цифр + 11 знаков препинания, скобки, пробел.

1 килобайт = 1 Кб =1024 байта

1 мегабайт = 1 Мб = 1024 килобайта

1 гигабайт = 1 Гб = 1024 мегабайта

Если пронумеровать разряды целого числа справа налево, начиная от 0

для разряда единиц, то вес любого разряда получается возведением основания

системы счисления в степень, значение которой равно номеру разряда.

 

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию Pсистемы счисления.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

В ы ч и т а н и е

У м н о ж е н и е

Выполняя умножение многозначных чисел в  различных   позиционных   системах   счисления , можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой  системе  таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной  системе

Ответ: 5^.6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

Д е л е н и е

Деление в любой  позиционной   системе   счисления  производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной  системе . В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.     Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30 : 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

2. Перевод чисел между различными системами счисления: метод деления. [Назначение, порядок выполнения операции перевода, принципы метода, применение для перевода чисел между произвольными системами счисления

(63-69)

Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

        Пример 1. Перевести десятичное число 173₁₀ в восьмеричную систему счисления:

173	8
5	21	8
	5	2

Получаем: 173₁₀=255₈

Д е л е н и е

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.     Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

: 30 : 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

Для перевода целого десятичного числа  N  в систему счисления с основанием  q  необходимо  N  разделить с остатком ("нацело") на  q , записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на  q , и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N  в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

5 Перевод чисел между различными системами счисления: метод разложения. [Назначение, порядок выполнения операции перевода, принципы метода, применение для перевода чисел между произвольными системами счисления.]

6. Перевод чисел между различными системами счисления: табличный метод. [Назначение, порядок выполнения операции перевода, принципы метода, применение для систем счисления, отличных от двоичной.]

Табличный метод перевода. В простейшем виде табличный метод заключается в следующем: имеется таблица всех чиселоднойсистемыс соответствующими эквивалентами из другойсистемы; задача перевода сводится к нахождению соответствующей строки таблицы и выбору из нее эквивалента. Такая таблица очень громоздка и требует большой емкости памяти для хранения. Другой вид табличного метода заключается в том, что имеются таблицы эквивалентов в каждойсистеметолько для цифр этих систем и степеней основания (положительных и отрицательных); задача перевода сводится к тому, что в выражение ряда (3) для исходнойсистемысчислениянадо подставить эквиваленты из новойсистемыдля всех цифр и степеней основания и произвести соответствующие действия (умножения и сложения) по правилам q2 -арифметики. Полученный результат этих действий будет изображатьчислов новойсистемесчисления.

Это удобный, но долгий и громоздкий способ

7. Перевод дробных чисел (десятичный формат) между различными системами счисления: метод разложения. [Назначение, порядок выполнения операции перевода, принципы метода, применение для перевода чисел между любыми системами счисления.]

Перевод из недесятичной позиционной системы счисления в десятичную осуществляется вычислением значения полинома, соответствующего этому числу. На первом этапе записываем число в виде полинома, где основание системы, из которой переводиться число, выражается в десятичной системе счисления. На втором этапе вычисляется значение полинома по правилам десятичной арифметики.

     Пример: Перевести двоичное число 110110,1 в десятичную систему счисления:

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример.

Перевести 23.125₁₀"2" с.с.

1) Переведем целую часть:	2) Переведем дробную часть:

Таким образом:  23₁₀ = 10111₂; 0.125₁₀ = 0.001₂. Результат:  23.125₁₀ = 10111.001₂.

7. Перевод дробной части (десятичный формат) числа между различными системами счисления: метод умножения. [Назначение, порядок выполнения операции перевода, принципы метода, применение для перевода чисел между любыми системами счисления.]

Можно сформулировать алгоритм перевода правильной дроби с основанием p в дробь с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.

3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

           Пример 5. Перевести число 0,65625₁₀ в восьмеричную систему счисления.

0,	65625 * 8
5	25000 * 8
2	00000

Получаем: 0,65625₁₀=0,52₈