Решения задач

1. Пусть . По условиюсуществует и равен 2. В силу непрерывности показательной функции. Следовательно, откуда . Проверкой убеждаемся, что это число удовлетворяет уравнению. Необходимость последнего шага связана с неэквивалентностью переходов. Заметим, что уравнение в соответствии с описанной процедурой дает, однако, функцияпринимает заданное значение, вообще говоря, в двух точках (кроме одного значения), в частности, в нашей задаче (при) это, предел же, естественно, единствен. В нашем случае (при) легко видеть, что, поэтому мы получаем решение именно уравнения с. Внимание жюри на этот аспект обратил студент Ю.Александров (ИТМО)

2. ,.

3. Выберем оси так, что параболы: , . Точки пересечения ­ решения системы. , тогда , т.е. эти точки ­ на окружности.

4. Нет. Первым ходом надо задать коэффициент при , равным нулю. После этого второй задает либо свободный член, либо коэффициент при . Рассмотрим оба случая. В первом случае первому будет достаточно обнулить коэффициент при . Получится уравнение , имеющее ровно один корень. Во втором случае первому надо будет выбирать коэффициент у функции . Если , то и монотонно возрастает. Следовательно, корень ровно один при любом . Если второй задал отрицательное , то функция имеет локальный минимум () в точке и возрастает при и при . Поэтому первый должен взять для того, чтобы уравнение имело ровно один корень.

Второе решение. Выбираем коэффициент перед , равным 1. Если второй выбирает один из двух коэффициентов, равным , то оставшийся коэффициент первый выбирает тоже . Тогда наш многочлен имеем вид ,который, очевидно, имеет ровно один вещественный корень.

5. Для , имеем , .

Тогда ,

,

на (0,1), поэтому . Следовательно,. Но приэто значение достигается. Ответ.

6. По индукции. Для непосредственно находим._{, .}

Пусть и. Преобразуем матрицу, прибавив ко всем ее строкам, начиная с третьей, первую и вторую строки, умноженные на -1, если требуется (чтобы получить нули в первых столбцах). Тогдаприведется к виду:

Тогда .

7.

8. удовлетворяет условию. Ищем другие решения. Пустьпри некотором. Тогда изследует что

(1)

Тогда из следует, что

(2)

Из (1) имеем , т.е., а затем из (2)

и .

Т.е. для любых справедливо:

(3)

Пусть для некоторого , например, ( аналогично). Тогда существует такое, что.

И из (2) и (3) получаем ­ противоречие. Значит,. Ясно, что такая функция удовлетворяет функциональному уравнению.

Ответ: и.

9. .

Если , то решениеограничено и(если, ане ограничено, то при некоторых значениях получим противоречие ­ квадрат меньше нуля. Если, то интеграл берется).

Пусть . Тогда решение не ограничено. Пусть для определенности, тогда

, .

Тогда при

Значит, и .

10. В первых скобках ­ ряд для функции .

.

Так как ( интегрирований по частям или просто по свойству -функции), то

.

11. Возьмем характеристические функции .

По неравенству Бесселя

Поэтому найдется , для которого .

12. Рассмотрим спектральное разложение эрмитова оператора :

(1)

где собственные значения, соответствующие собственным векторамоператора. Если- крайняя точка, то сумма содержит только одно ненулевое слагаемое, следовательно,- есть одномерный проектор (на собственный вектор).

Обратно, пусть есть одномерный проектор иВозведем это выражение в квадрат и рассмотрим разностьи(которая равна нулю, ибо- проектор). После перегруппировки слагаемых получим:

Сумма трех положительных операторов (положителен, ибо все собственные значенияот нуля до единицы, см. (1)) равна нулю, следовательно, каждое слагаемое должно равняться нулю. Но это означает, что, то есть- крайняя точка.