Тема 6. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Математическое ожидание дискретной
случайной величины
,
имеющей конечное число возможных
значений, равно
,
(1).
Математическое ожидание дискретной
случайной величины
,
имеющей бесконечное число возможных
значений, равно
,
(2).
Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
В формулах (1) и (2):
- возможные значения случайной величины
,
- вероятности того, что случайная величина
примет эти значения.
Свойства математического ожидания:
1.
(3).
Где
-
постоянная величина.
2.
,
(4).
Где
=const.
3.
(5).
Где
и
- две любые случайные величины.
4.
,
(6).
Где
и
- две независимые случайные величины.
Дисперсия случайной величины определяется равенством
,
(7)
Или равносильным ему равенством
(8).
Дисперсию дискретной случайной величины, имеющей конечное число возможных значений, можно вычислять по формуле
,
(9).
Соответствующей формуле (7), или по формуле
, (10),
соответствующей формуле (8).
Свойства дисперсии:
(11)
(12)
;
(13), где
и
- две независимые случайные величины.
Среднее квадратическое отклонение
случайной величины
равно
(14).
Задача образец
Дискретная случайная величина
задана рядом распределения
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Ответ:
;
;
определяем
количество переменных, для того
чтобы
сделать 1..3 надо нажать ":"
для
того, чтобы получить xi
надо
нажать "[",
и
для того, чтобы вставить данные в столбец
надо нажимать
",".
Задача № 2
В результате обработки данных многолетних
наблюдений получены распределения
случайных величин
и
числа
хозяйств в каждом из двух районов
области, которых урожайность зерновых
культур может превысить 35 ц/га.
Для первого района области:
.
Для второго района области:
.
Найти математическое ожидание
и дисперсию
случайной величины
двумя
способами:
А) исходя из закона распределения
;
Б) используя свойства математического ожидания и дисперсию, отраженные формулами (5) и (13).
Убедиться в том, что в условиях данной задачи эти свойства независимых случайных величин выполняются.
Ответ:
;
.
Указание: надо найти все возможные
значения случайной величины
и вероятности
этих значений. Для этого надо учесть
следующее, что суммой (разностью или
произведением) случайных величин
и
называется случайная величина , которая
принимает все возможные значения вида
(
или
),
где
с вероятностями
того, что случайная величина
примет
значение
,
а
- значение
:
.
Если случайные величины
и
независимы, то по теореме умножения
вероятностей независимых событий
.
Для конкретного примера:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
.
Для расчета вероятностей удобно составить следующую таблицу:
Получим следующий ряд распределения
Далее необходимо рассчитать
и
,
а также
и убедиться , что справедливы свойства
математического ожидания и дисперсии.
Задача № 3.
Найти математическое ожидание случайной
величины
,
если известны математические ожидания
,
.
Ответ: 31.
Задача № 4.
Доказать, что
.
Задача № 5.
Доказать, что для независимых случайных
величин
и
справедливо равенство:
.
Задача № 6.
Случайные величины
и
.
Известны дисперсии этих величин:
.
Найти дисперсию случайной величины
.
Ответ: 29.
Задача № 7.
На птицефабрике три терморегулятора
работают независимо друг от друга.
Вероятность бесперебойной работы в
течении смены первого терморегулятора
равна 0,6. для второго и третьего эти
вероятности соответственно равны 0,8 и
0,9. найти закон распределения случайной
величины
- числа терморегуляторов, бесперебойно
работающих в течение смены. Вычислить
математическое ожидание, дисперсию и
среднеквадратическое отклонение
величины
.
Ответ:
.
Указание. Рассмотреть события:
- в течение смены будут бесперебойно
работать соответственно первый, второй,
третий терморегуляторы.
- в течение смены не будут бесперебойно
работать соответственно первый, второй,
третий терморегуляторы.
- будут сбои в работе трех терморегуляторов;
- бесперебойно будет работать один
терморегулятор;
- бесперебойно будут работать два
терморегулятора;
- бесперебойно будут работать три
терморегулятора.