5. Метод Кендала

Коефіцієнт рангової кореляції, запропонований Морісом Кендалом, в якості міри схожості між двома ранжування використовує мінімальне число перестановок, яке треба здійснити між сусідніми об'єктами, щоб одне упорядкування об'єктів перетворити в інше.

За допомогою коефіцієнту рангової кореляції Кендала (Kendall's rank correlation coefficient) визначається ступінь взаємодії двох параметрів. Зокрема це може бути ступінь узгодженості суджень експертів.

В основі ідеї побудови цього коефіцієнта лежать наступні міркування. Розглянемо результат ранжування даної двома експертами nоб'єктам -і. Якщо для якоїсь пари об'єктів порядок ранжування у обох експертів збігається, то цю пару експертних думок називають узгодженою, у противному випадку пара є неузгодженою. Позначимо через- число узгоджених пар думок, а через -- число неузгоджених. При порівняно невеликому числі варіантів можна розрахувати число узгоджених і неузгоджених пар

Показник ступеня узгодженості думок експертів оцінюється з допомогою різниці між узгодженими і неузгодженими думками:

.

Знак різниці вказує, яких думок більше. Для того, щоб виконувалася вимога до оцінки показника узгодженості тобто його значення за абсолютною величиною не повинно перевищувати 1, цю різницю потрібно нормувати, розділивши на загальне число можливих поєднань пар думок. Це число визначається за формулою:

Формула коефіцієнта рангової кореляції Кендала має вигляд:

Якщо думки двох експертів близькі, то коефіцієнт Кендала буде наближатися до 1.

Використовуючи метод Кендала, розрахуємо коефіцієнт рангової кореляції для наступного прикладу.

Розглянемо приклад у якому обидва експерти ранжують чотири об’єкти:

На першому етапі реалізації процедури вводиться таке позначення об’єктів експертизи (перенумерація), в якому для першого ранжування індекси рангів зростають.

Для модифікованого ранжування другого експерта формуються два вектори:

Для вектора по кожному елементу визначається загальна кількість подальших елементів з більшим рангом.

Вектор формується аналогічним чином для попередніх елементів.

Формуються суми . Загальна кількість об’єктів експертизи.

Кендел запропонував наступну формулу для обчислення коефіцієнту рангової кореляції:

Отриманий результат свідчить про не узгодженість експертних оцінок.

Порівняльна оцінка коефіцієнтів рангової кореляції Спірмена і Кендалла показує, що обчислення коефіцієнтів Спірмена проводитьсяпобільш простій формулі. Крім того, коефіцієнт Спірмена дає більш точний результат, оскільки він є оптимальною за критерієм мінімуму середньої квадрата помилки оцінкою коефіцієнта кореляції. Таким чином можна зробити висновок, що при практичних розрахунках кореляційної залежності ранжувань переважніше використовувати коефіцієнт рангової кореляції Спірмена.

6. Коефіцієнт конкордаціі

У нечисловій статистиці часто виникає необхідність встановлення ступеня узгодженості суджень експертів у ранжуваннях великого (більше двох) числа експертів. При цьому традиційні підходи, засновані на формулах обчислення рангової кореляції представленими вище методами Кендала та Спірмана занадто трудоємкі, тому що передбачають розрахунок коефіцієнтів для всіх можливих пар експертів, і часто не дають потрібного результату при недостатній узгодженості об'єктів по одному з вимірювань і малому обсязі вихідної вибірки. Крім того, дані формули вимагають попередньої обробки при рівності рангів об'єктів.

Для вирішення даної проблеми пропонується використовувати коефіцієнт конкордації - загальний коефіцієнт рангової кореляції для групи, що складається з mекспертів.

Припустимо, кожен з nчленів експертної групи повинен ранжуватиm об'єктів у порядку переваги, де кращому варіанту присвоюється значення 1, наступного 2 і т д. Отримане ранжування можна представити у вигляді матриціХ, яка складається з елементів, що є рангом данимиi-м експертомj-му об'єкту.

Коефіцієнт конкордації обчислюється за формулою:

де - сума квадратів відхилень всіх оцінок рангів кожного об'єкта експертизи від середньої думки, яке дорівнює,- кількість експертів,- кількість об’єктів експертизи.

Коефіцієнт конкордації характеризує ступінь взаємодії суджень експертів і приймає значення від 0 до 1. Причому він дорівнює 1 при максимальній узгодженості і дорівнює 0 при максимальній неузгодженості.

Розглянемо приклад у якому п’ять експертів ранжують сім об’єктів:

N
1	1	2	6	4	7	3	5
2	1	2	7	6	3	5	4
3	7	1	6	4	2	5	5
4	3	1	5	6	4	7	2
5	1	2	6	4	5	7	3
	13	8	30	24	21	27	17
	-7	-12	10	4	1	7	-3
	49	144	100	16	1	49	9

де .

Ступінь узгодженості суджень експертів характеризується коефіцієнтом конкордації:

де - кількість експертів, - кількість об’єктів експертизи.

У розглянутому прикладі .

Формується сума рангів по кожному об’єкту експертизи. Далі Визначається значення параметру . Формуємо сумуи визначаємо коефіцієнт конкордації:

Отриманий результат свідчить про середню узгодженість суджень експертів.