2.2. Остаточное время жизни

Страховая компания имеет дело с конкретными людьми, дожившими до определенного возраста. Статистические свойства времени жизни таких людей существенно отличаются от свойств времени жизни новорожденных. Если человек в возрасте лет обратился в страховую компанию (в актуарной математике такого человека обозначают), то заведомо известно, что он дожил долет, и поэтому все случайные события, связанные с этим человеком, должны рассматриваться при условии, что.

Для человека в возрасте лет обычно рассматривают не продолжительность жизни, а остаточное время жизни. Распределение случайной величины– это условное распределение величиныпри условии, что:

Соответствующая функция выживания определяется формулой

,

так что плотность случайной величины может быть найдена по формуле:

, .

Интенсивность смертности, связанная с величиной , есть

.

Это соотношение означает, что интенсивность смертности спустя время для человека, которому сейчаслет, равна интенсивности смертности в возрастедля новорожденного. Другими словами, интенсивность смертности в данном возрастене зависит от уже прожитых лет.

Основные величины, связанные с остаточным временем жизни

Вероятность (т.е. вероятность смерти человека возрастав течение ближайшихлет) в актуарной математике обозначается. Тогда

Дополнительная вероятность (т.е. вероятность того, что человек в возрастелет проживет еще по меньшей мерелет) в актуарной математике обозначается:

Случай играет особую практическую роль и встречается наиболее часто. Для него принято опускать передний индекс у переменныхи. Таким образом, символобозначает вероятность того, что человек в возрастелет умрет в течение ближайшего года, а символобозначает вероятность того, что человек в возрастелет проживет еще по крайней мере один год. Тогда

,

С помощью вероятностей можно вычислить и более общие вероятности:

.

Рассмотрим теперь более общее событие, заключающееся в том, что человек возраста проживет ещелет, но умрет на протяжении последующихлет, т.е.. Его вероятность обозначается:

.

Случай представляет особый интерес для приложений к страхованию жизни. Как обычно соответствующий индекс принято опускать. Таким образом,– это вероятность того, что человек в возрастелет проживет ещелет, но умрет на протяжении следующего года.

.

Макрохарактеристики остаточного времени жизни

Среднее значение остаточного времени жизни человека в возрасте летобозначаетсяи называетсяполной ожидаемой продолжительностью жизни:

.

Второй момент можно найти по формуле:

.

Среднее остаточное время жизни можно выразить и через другие характеристики времени жизни. Для этого рассмотрим группу из новорожденных и обозначим черезсуммарное число лет, прожитых представителями этой группы в возрастеи более. Таким образом, если время жизниi-того представителя группы, , меньше чем, его вклад в суммуравен нулю. Если же, то вклад в сумму равен.

Тогда

.

Среднее значение величины , где– некоторая положительная константа, называютчастичной средней продолжительностью жизни и обозначают .