- •Н. Л. Кузнецова, а. В. Сапожникова
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Методические материалы Рабочая программа дисциплины Пояснительная записка
- •Рабочая программа дисциплины
- •Содержание дисциплины
- •Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики
- •Тема 2. Характеристики продолжительности жизни
- •Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций
- •Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни
- •Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни
- •Рекомендации по самостоятельной работе студента
- •Методические рекомендации по отдельным видам
- •Теоретические материалы
- •1.2. Элементы финансовой математики
- •Приведенная ценность
- •Оценивание серии платежей Детерминированные ренты
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Характеристики продолжительности жизни Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •2.1. Время жизни как случайная величина
- •2.2. Остаточное время жизни
- •2.3. Округленное время жизни
- •2.4. Таблицы продолжительности жизни
- •2.5. Приближения для дробных возрастов
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Теория страхования на основе использования
- •3.1. Страхование на чистое дожитие
- •3.2. Страхование рент
- •3.3. Страхование жизни
- •3.4. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год
- •3.5. Накопительное страхование с фиксированными взносами
- •3.6. Страховые премии
- •Нетто-премии для элементарных видов страхования
- •Нетто-премии для пенсионных планов
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Модели краткосрочного страхования жизни
- •4.3. Точный расчет характеристик суммарного ущерба
- •4.4. Приближенный расчет вероятности разорения
- •4.5. Принципы назначения страховых премий
- •4.6. Перестрахование. Сущность и разновидности договоров перестрахования
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 5. Модели долгосрочного страхования жизни Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Практикум Указания по выполнению практических заданий
- •Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики
- •Тема 2. Характеристики продолжительности жизни
- •Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций
- •Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни
- •Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни
- •Задания для контроля
- •Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики
- •Тема 2. Характеристики продолжительности жизни
- •Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций
- •Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни
- •Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни
- •Тесты для самоконтроля
- •Ключи к тестам для самоконтроля
- •Образец и решение типового варианта теста
- •Список источников информации
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
1.2. Элементы финансовой математики
Эффективная процентная ставка
Рассмотрим следующую простейшую ситуацию.
Предположим, что в момент времени мы даем в долг сумму(например, кладем на свой счет в банке, вносим плату за страховку, перечисляем пенсионный взнос в пенсионный фонд и т.д.). Спустя времямы можем рассчитывать на определенный доходот инвестирования принадлежащего нам капитала. Суммаявляется наградой за то, что наши средства использовались другим человеком. Обычно ее измеряют в относительных единицах; величинаназываетсяэффективной процентной ставкой за рассматриваемый промежуток времени .
Простые и составные проценты
Предположим теперь, что сумма может инвестироваться на два последовательных промежутка времени. Пусть– эффективная процентная ставка на первом промежутке,– соответственно на втором. Существуют две схемы исчисления доходана объединенном интервале:
Принцип простых процентов предполагает, что проценты начисляются только на основной капитал. Поэтому . Соответственно, итоговая процентная ставка.
Принцип сложных процентов предполагает, что проценты начисляются не только на основной капитал, но и на уже заработанные проценты. Поэтому в конце второго интервала времени основной капитал вырастет до величины
.
Соответственно, итоговая процентная ставка определяется из условия, т.е..
Принцип сложных процентов фактически означает, что инвестор может свободно распоряжаться своими средствами. Поэтому в актуарной математике принято использовать принцип сложных процентов при определении дохода от вложенных средств.
Процентные ставки, используемые в большинстве расчетов в актуарной математике, определяются, исходя из консервативных оценок доходности реальных будущих инвестиций страховщика. Они намного ниже реальных процентных ставок, предлагаемых рынком для различных видов инвестиционных проектов. Их значение заключается в том, чтобы как-нибудь учесть рост денег, внесенных в качестве платы за страховое покрытие. Поэтому их называют техническими процентными ставками. На самом деле страховая компания зарабатывает гораздо большие проценты; более того, это один из самых (если не самый главный) источник дохода страховщика.
Накопления
Выберем некоторый промежуток времени в качестве единичного (как правило, один год) и предположим, что процентная ставка за этот промежуток равна . Допустим, что в моментсуммаинвестируется наединиц времени. По принципу сложных процентов в момент временикапиталпревратится в сумму. Величинаназывается коэффициентом накопления за время.
Интенсивность процентов
Интенсивность процентов – это мгновенная относительная скорость накопления средств
.
Поскольку , то коэффициент накопления за времяможно записать в виде
.
Интенсивность процентов удобно использовать для изучения накоплений в случае изменяющихся процентных ставок. В этом случае и
.
Номинальные процентные ставки
Рассмотрим промежуток времени длиной . Если в качестве единицы измерения принят один год, то наиболее часто встречаются случаи:(рассматриваемый промежуток времени равен одному месяцу);(квартал);(полугодие).
Эффективная процентная ставка за этот промежуток времени равна
.
Однако в финансовой математике принято характеризовать доходность вложения средств на промежутке не эффективной (т.е. реальной) процентной ставкой, а так называемойноминальной процентной ставкой
.
Иногда величину называютноминальной процентной ставкой выплачиваемой (начисляемой) с частотой .