4.3. Точный расчет характеристик суммарного ущерба

Для страховой компании интерес представляет не конкретный страховой случай и связанная с ним выплата страховой суммы, а общая сумма выплат по всем договорам. Если эта сумма меньше или равна, чем активы компании, то компания успешно выполнит свои обязательства. Если же, то компания не сможет выплатить все страховые возмещения; в этом случае мы говорим о разорении компании. Таким образом, вероятность разорения компании это, т.е. дополнительная функция распределения суммарного ущерба. Соответственно функция распределения суммарного ущерба– это вероятность неразорения. Расчет этих вероятностей представляет фундаментальный интерес для компании и служит основой для принятия важнейших решений.

Для их расчета прежде всего отметим, что для случаев краткосрочного страхования жизни

и поэтому вероятность разорения компании равна

,

где – общее число застрахованных, а– размер индивидуального ущерба по-му договору. Мы предполагаем, что число– неслучайно, а случайные величины– независимы (таким образом, мы исключаем катастрофические несчастные случаи, влекущие смерть сразу нескольких человек, застрахованных в нашей компании). Поскольку суммарный ущерб представляет собой сумму независимых случайных величин, его распределение может быть подсчитано с помощью классических теорем и методов теории вероятностей.

4.4. Приближенный расчет вероятности разорения

Обычно число застрахованных в страховой компании очень велико. Поэтому подсчет вероятности разорения предполагает расчет функции распределения суммы большого числа слагаемых. В этом случае применение ЭВМ может привести к проблемам, связанным с малостью вероятностей. Однако обстоятельство, затрудняющее точный расчет, открывает возможность быстрого и простого приближенного расчета. Это связано с тем, что при росте вероятностьчасто имеет определенный предел (обычно нужно, чтобыопределенным образом менялось вместе с), который можно применять в качестве приближенного значения искомой вероятности. Точность подобных приближений обычно очень велика и удовлетворяет практические потребности. Основным является нормальное (или гауссовское) приближение.

Гауссовское приближение основано на центральной предельной теореме теории вероятностей. В простейшей формулировке эта теория выглядит следующим образом:

если случайные величин независимы и одинаково распределены со средними дисперсией, то прифункция распределения центрированной и нормированной суммы

имеет предел, равный

Поэтому, если число слагаемых велико, то можно написать приближенное равенство:

или, что то же самое,

Существуют многочисленные обобщения центральной теоремы на случаи, когда слагаемые , имеют разные распределения, являются зависимыми и т.д. Детальное обсуждение этого вопроса увело бы нас слишком далеко в сторону от изучаемого предмета. Поэтому мы ограничимся утверждением, что если число слагаемых велико (обычно достаточно, чтобыимело бы порядок нескольких десятков), а слагаемые не очень малы, то применимо гауссовское приближение для нахождения вероятности

Конечно, это утверждение очень неопределенно, но и классическая центральная предельная теорема без точных оценок погрешности не дает ясного указания на сферу применения.

Функция при ростеотдовозрастает от 0 до 1 и непрерывна. Поэтому она может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины. Это распределение называется гауссовским, или нормальным. Оно не зависит от каких-либо параметров и детально изучено в теории вероятностей. Существуют подробные таблицы как для функции распределения, так и для плотности.

Значения в наиболее интересном диапазонеприведены в следующей таблице:

1.0	15.87%	2.0	2.28%	3.0	0.135%
1.1	13.57%	2.1	1.79%	3.1	0.097%
1.2	11.51%	2.2	1.39%	3.2	0.069%
1.3	9.68%	2.3	1.07%	3.3	0.048%
1.4	8.08%	2.4	0.82%	3.4	0.034%
1.5	6.68%	2.5	0.62%	3.5	0.023%
1.6	5.48%	2.6	0.47%	3.6	0.020%
1.7	4.46%	2.7	0.35%	3.7	0.011%
1.8	3.59%	2.8	0.26%	3.8	0.007%
1.9	2.87%	2.9	0.19%	3.9	0.005%

Полезно также иметь таблицу квантилей , отвечающих достаточно малой вероятности разорения:

	1%	2%	3%	4%	5%
	2.33	2.05	1.88	1.75	1.645