5. Равномерное распределение

СВ Х подчинена равномерному закону распределения, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

.

График плотности равномерного распределения f(x) изображен на рис.5.1.

Интегральная функция распределения F(x) равна: ,

ее график изображен на рис. 5.2.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение соответственно равны:

; D;.

Вероятность попадания Х в заданный интервал значений определяется:.

6. Показательное распределение

Непрерывная СВ Х распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

,

где  - параметр распределения.

Кривая плотности распределения f(x) изображена на рис.5.3. Интегральная функция распределения равна

,

ее график показан на рис 5.4.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное соответственно равны:

M[X]=1/; D[X]=1/²; _х=1/;

а вероятность попадания Х в заданный интервал значений определяется следующим образом:.

Пример. СВ Т—время безотказной работы телевизора - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время безотказной работы телевизора будет не меньше 600 часов, если среднее время работы его 400 часов.

 По условию задачи математическое ожидание СВ Т равно 400 часов. Искомая вероятность

P(T  600 )= 1- P(T<600 )= 1- F(600)=1-(1-e^-600/400 )=e^-1,5  0,2231. 

7. Нормальное распределение

СВ Х подчинена нормальному закону распределения, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

,

где a ‑ математическое ожидание, ‑среднее квадратичное отклонение Х.

Интегральная функция нормального распределения имеет вид

;

где - функция Лапласа, или интеграл вероятностей.

Основные свойства функции Лапласа:

1. (0) = 0;

2) (нечетная функция);

3) ()=0,5

Таблица значений функции (х) для приведена в приложении, поскольку она является нечетной, то для отрицательных значенийх пользуются теми же таблицами, что и для положительных.

Вероятность попадания Х в заданный интервал значений :

,

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормальной СВХ от ее математического ожидания меньше положительного числа , определяется выражением:

.

В частности, при а=0, P(Х <) =2().

Если в равенстве 5.17. взять, получимтак называемое «правило трёх сигм», которое является одним из необходимых условий того, что СВ имеет нормальный закон распределения. В самом деле,

т.е. отклонение нормальной СВ от своего математического ожидания а на величину, равную является событием практически достоверным.

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

а_s=0, е_k=0, M_o=a, M_e=a, где a=M[X].

График плотности вероятности нормального распределения (рис.5) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Элементы математической статистики

Установление статистических закономерностей, присущих массовым случайным явлениям, основано на изучении статистических данных – сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий нас признак.

В математической статистике изучаются две основные задачи:

- указать способы сбора и группировки статистических сведений (данных), полученных в результате наблюдений или поставленных экспериментов (здесь не рассматриваются);

- разработать методы анализа статистических данных в зависимости от поставленных целей исследования.

С математической статистикой тесно связаны такие науки как планирование эксперимента, последовательный анализ данных, регрессионный анализ, эконометрика и ряд других. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Генеральная и выборочная совокупность.

Вся совокупность объектов, изучаемая относительно некоторого количественного признака Х (случайной величины) называется генеральной совокупностью. Количество объектов в ней может быть и не известно.

Любое количество объектов, каким-либо образом отобранных из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Полное количество членов в любой из совокупностей называется ее объемом.