Распределения случайных величин и их числовые характеристики

1. Биномиальное распределение

СВ Х распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

, (5.1

где 0 < p < 1, q=1 - p, k=0, 1, 2, …, n.

Такая СВ выражает число появлений события А в п независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.

Ряд распределения имеет вид:
хi=k	0	1	…	i		n
P(X=k)

А числовые характеристики равны:

D[X]=npq.

Пример Три конкурирующие фирмы работают независимо друг от друга. Вероятность обанкротиться для каждой из них равна 0.1. Составить закон распределения СВ Х – числа обанкротившихся фирм. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Дискретная СВ X - число обанкротившихся фирм имеет следующие возможные значения: x₁=0 (ни одна фирма не обанкротилась), x₂=1 (обанкротилась одна фирма), x₃=2 (две обанкротились) и x₄=3 (обанкротились все три). Банкротства фирм независимы друг от друга, поэтому применима формула Бернулли ( n=3, k=0, 1, 2, 3; p=0,1, q=1 ‑ 0,1= 0,9 ), следовательно,

P(X=0)=P₃(0)=q³=0,9³=0,729; P(X=1)=P₃(1)=pq²=30,10,9=0,243;

P(X=2)=P₃(2)=p²q=3(0,1)²(0,9)=0,027; P(X=3)=P₃(3)=p³=0,1³=0,001.

Контроль: 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

` Закон распределения Х имеет вид:

хi=k	0	1	2	3
P(X=k)	0,729	0,243	0,027	0,001

M[X]=;D[X]=.

2. Геометрическое гипегеометрическое распределения.

Дискретная СВ Х подчинена геометрическому распределению, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, k, …, а соответствующие вероятности можно вычислить по формулам:

где 0 <p <1, q=1 - р.

xi	0	1	2	…	k	…
pi	p	pq	pq2	…	pqk	…

Ряд распределения Х имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

D[X].

3. Гипергеометрическое распределения. СВ Х подчинена гипергеометрическому распределению с параметрами a, b, n, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, k, …, а, а соответствующие вероятности вычисляются по формулам:

, .

(Если в урне а белых и b черных шаров и из нее вынимают n шаров, то СВ Х={число белых шаров среди вынутых} подчиняется гипер-геометрическому закону).

Примечание. В приведенной формуле полагают , если.

Математическое ожидание и дисперсия гипергеометричекого распределения: ,

D.

4. Распределение Пуассона

СВ Х распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения: 0, 1, 2, …, k, …, вероятности которых можно вычислить по формулам:

,

где k – число появлений события А в n независимых испытаниях (),()‑ параметр распределения, который равен среднему числу появления события А вn испытаниях. Если вероятность появления события А в каждом испытании одинакова и равна р, то .

Распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда число испытаний n достаточно велико, а вероятность р появления события в каждом испытании мала (порядка 1/n).

Ряд распределения СВ Х , распределенной по закону Пуассона, имеет вид:

х	0	1	2	…	n	…
рk				…		…

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

, D.

Пример. На телефонную станцию в течение часа поступают в среднем 30 вызовов. Найти вероятность того, что в течение минуты поступает не более двух вызовов.

Математическое ожидание числа вызовов за минуту равно . Вероятность того, что в течение данной минуты будет получено не более двух вызовов, равна сумме вероятностей того, что в течение данной минуты будет либо 0, либо 1, либо 2 вызова. Поэтому искомая вероятность:

P(k2) = p(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= =++=(1+1/2+)0,98. 