Пример. Св х задана плотностью распределения
.
Найти: а) параметр с; б) моду; в) медиану.
a).
Используя свойство (5) плотности
распределения, получим:
.
Плотность
распределения имеет вид:
б) Мода
Mo
СВ
Х
– это точка максимума функции
.
Необходимое условие существования
экстремума ‑
,
но
=
0,
следовательно данное распределение
моды Mo
не имеет.
в) Медиана Мe
определяется из уравнения
.
Интегрируя и подставляя пределы
интегрирования, получим:
.
Решая квадратное уравнение, находим
корни
.
Следовательно,
.
Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и обозначается М[X] или mx. Под символом М[X] понимают оператор математического ожидания, примененный к СВ Х. Оператор имеет различные выражения для дискретной и непрерывной СВ Х.
Математическое ожидание дискретной СВ Х есть сумма произведений всех возможных значений СВ на вероятности принятия этих значений.
М[X]=
=
Математическое ожидание непрерывной СВ X есть интеграл:
М[Х]
=
Свойства математического ожидания
1. М[С]=С
2. М[CX]=CМ[X]
3. М[X1+X2+...+Xn]= M[X1]+ M[X2]+...+ M[Xn]
4. Для независимых случайных величин X1,X2,...,Xn:
М[X1X2...Xn]= M[X1] M[X2]... M[Xn].
Пример Изделия испытываются на надежность. Вероятность выхода из строя за время испытания для каждого изделия равна р. Испытания заканчиваются после первого же вышедшего из строя изделия. Найти математическое ожидание СВ Х - числа проверенных изделий.
Если X - случайное число проверенных изделий, то ряд распределения СВ Х имеет вид:
|
xi |
1 |
2 |
3 |
... |
k |
... |
|
pi |
p |
pq |
pq2 |
... |
рqk-1 |
... |
где q=1-p. Математическое ожидание Х выражается суммой ряда:
М[Х]=1p+2pq+3pq2+...+kpqk-1
+...=p(1+2q+3q2+...+kqk-1+...
Легко заметить,
что ряд, стоящий в скобках представляет
собой результат дифференцирования
геометрической прогрессии
q+q2+q3+...+qk+...=
.
Следовательно:
М[Х]=р(1+2q+3q2+...+kqk-1+...)=
=
.
Дисперсией
СВ Х называют математическое ожидание
квадрата отклонения СВ от ее математического
ожидания:
=
D[X]=M[(X-M[X])2]
Дисперсия характеризует рассеяние значений СВ вокруг ее математического ожидания. Символ D[X] означает оператор дисперсии, примененный к СВ Х. Свойства математического ожидания позволяют получить удобную формулу для определения дисперсии:
D[X]=M[X2]-(M[X])2
Дисперсия дискретной СВ Х вычисляют по формуле:
D[X]=
Или
D[X]=
‑ (M[X])2
Дисперсия непрерывной СВ Х вычисляют по формуле:
D[X]=
Или
D[X]=
‑(M[X])
2
Свойства дисперсии
1. D[C] = 0.
2. D[CX])=C2D[X].
3. D[X1+X2+...+Xn ]= D[X1]+D[X2] +...+D[ Xn].(Для независимых случайных величин X1,X2,...Xn).
Средним квадратичным отклонением х СВ Х называют квадратный корень из дисперсии:
х
=
.
Начальным
моментом
k-го
порядка
СВ Х
называют математическое ожидание
величины
Хk
, т.е. 
Начальный момент
k-го порядка дискретной
СВ выражается
суммой:
,
непрерывной - интегралом:
Очевидно, что при
k=1
.
Начальные моменты высших порядков используются главным образом для вычисления центральных моментов.
Центральным
моментом
k-го
порядка
СВ Х
называют математическое ожидание
величины
:
Для дискретной
СВ
Х центральный
момент выражается суммой:
,
для непрерывной - интегралом:
.
Центральный момент
первого порядка
,
центральный момент второго порядка –
это дисперсия:
.
Центральный момент
любого порядка можно выразить через
начальные моменты: 
;
и т.д.
Асимметрией
(коэффициентом
асимметрии)
распределения СВ Х называется величина:
.
Коэффициент асимметрии характеризует “скошенность” графика плотности распределения вероятностей.
Эксцессом
СВ Х называется
величина
,
она характеризует крутизну кривой распределения.