Cвойства функции распределения:

1) 0F(x)1, поскольку является верoятностью.

2) F(x) - неубывающая функция, т.е. при .

3) Функция распределения непрерывной СВ непрерывна: .

4) P(X<)=F()-F().

5) Вероятность того, что непрерывная СВ Х примет одно определенное значение, равна нулю: , но

6) .

Схематично функция распределения непрерывной СВ может быть представлена графиком, изображенным на рис.4.3.2.

Для дискретной СВ X, которая принимает значения x₁, x₂, …, x_n , функция распределения вычисляется согласно правила:

F(x)=P(X<x)=,

где символx_i<x под знаком суммы обозначает, что суммирование распространяется на все значения СВ, которые по своей величине меньше аргумента х.

Пример. Производится три независимых исследования оборачиваемости средств предприятия. Вероятность ошибки при каждом исследовании равна 0,4. Построить функцию распределения СВ Х - числа ошибок.

 Возможными значениями СВ Х будут: x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3.

Вероятности этих значений можно вычислить по формуле Бернулли:

,

где n=3; ;р = 0,4; q = 1 – 0,4 = 0,6.

Получим: Р(Х=0)=0,216, Р(Х=1)=0,432, Р(Х=2)=0,288, P(X=3)=0,064. Контроль: .

Ряд распределения представится таблицей:

Х	0	1	2	3
P(X=xi)	0,216	0,432	0,288	0,064

Функция распределения имеет вид:

F(x) = , её график представлен на рис. 4.5.

Пример 4.3. Функция распределения непрерывной СВ Х имеет вид: F(x) =. Найти коэффициентa и построить график F(х). Определить вероятность того, что СВ в результате опыта примет значение, принадлежащее интервалу (1;2).

Так как функция распределения непрерывной СВ X должна быть непрерывной в любой точке, то:

= 1 

a(3-1)² = 1  a=1/4.

График функции F(х) изображен на рис.4.6. На основании свойства (4) функции распределения вычислим: P(1<X<2) = F(2) ‑ F(1) = 1/4. 

Плотность распределения вероятностей

F(x) исчерпывающе характеризует СВ Х, однако удобнее охарактеризовать непрерывную СВ Х при помощи другой функции , которую называютдифференциальной функцией распределения. Она уже не является вероятностью, т.к. в силу определения производной Отношение есть средняя плотность вероятности, а предел средней плотности при естьплотность распределения вероятностей СВ Х. Таким образом, по определению

,

откуда следует, что

Свойства плотности вероятности

1); 2); 3);

4); 5).

Пример . Дана плотность распределения вероятностей СВ Х:

. Найти функцию распределения Х.

 В соответствии со свойством (3):

при x  0 : ;

при 0< x  2: F(x)=+= sinx;

при x> 2: F(x)=++==1.

Итак: F(x)=.

Числовые характеристики случайных величин.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач достаточно указать только некоторые характерные особенности распределения СВ. Это делается при помощи числовых характеристик: моды, медианы, асимметрии, эксцесса, математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения.

Модой М₀ СВ Х называют наиболее вероятное ее значение.

Для дискретной СВ Х модой М₀ является такое ее значение, вероятность которого наибольшая.

Для непрерывной СВ Х модой М₀ является такое ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

Медианой М_e СВ Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной этой величины:

Р(Х < М_e ) =Р(Х > М_e ).

Для непрерывной СВ медианы М_e определяется из условия:

, .