- •Математика
- •Часть II
- •Содержание
- •1 Инструкция по работе с методическими указаниями
- •2 Программа дисциплины
- •Тема 1. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.
- •Тема 2. Интегральное исчисление функции нескольких переменных.
- •Тема 3. Дифференциальные уравнения.
- •Вопросы для самоконтроля
- •Тема 4. Числовые и функциональные ряды.
- •Вопросы для самоконтроля
- •Тема 5. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Вопросы для самоконтроля
- •3 Контрольная работа № 2
- •4 Темы практических занятий
- •5 Содержание и оформление контрольных работ
- •6 Вопросы для подготовки к экзамену
- •7 Задания на контрольную работу № 2
- •Список рекомендуемой литературы
- •Часть II
2 Программа дисциплины
Тема 1. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.
Тема 2. Интегральное исчисление функции нескольких переменных.
Тема 3. Дифференциальные уравнения.
Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-го порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие понижение порядка.
Линейные однородные ДУ второго порядка. Структура общего решения. Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Литература: [2, гл. 13, §§2-8,16,20,21], [4, гл. 15, §§1-4].
Вопросы для самоконтроля
Определение дифференциального уравнения.
Порядок дифференциального уравнения.
Решение (общее и частное) дифференциального уравнения.
Теорема Коши (о единственности решения задачи Коши).
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод Бернулли.
Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие понижение порядка.
Решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Тема 4. Числовые и функциональные ряды.
Числовые ряды, их сходимость. Основные понятия и свойства. Необходимые условия сходимости. Остаток ряда. Свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения. Достаточные признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.
Функциональные ряды. Сходимость в точке, радиус сходимости и область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости и его вычисление. Интервал и область сходимости степенного ряда.
Литература: [4, гл. 14, §§1-5], [6, ч.2, гл. III, §§1-4].
Вопросы для самоконтроля
Определение числового ряда, общий член ряда, n-я частичная сумма.
Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды.
Гармонический и обобщенный гармонический ряд.
Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости.
Признаки сравнения (I и II).
Признаки Даламбера и Коши (радикальный, интегральный).
Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость.
Понятие функционального ряда. Область сходимости.
Степенной ряд. Интервал сходимости. Область сходимости.
Радиус сходимости и его вычисление (определение, случай ,).
Тема 5. Теория вероятностей и математическая статистика.
Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и операции над ними. Полная группа случайных событий. Классификация определения вероятности. Комбинаторика.
Свойства вероятностей. Теорема сложения. Статистическое определение вероятности. Условная вероятность. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Схема Бернулли повторных испытаний, наивероятнейшее число появлений событий. Локальная и интегральная предельные теоремы и их применение.
Случайные величины. Законы распределения дискретных случайных величин. Функция распределения непрерывной случайной величины, ее свойства, плотность вероятности и ее свойства. Нормальный закон распределения и его применение.
Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия, ее свойства.
Выборка и ее графическое представление. Выборочное среднее и дисперсия. Оценка параметров распределения по выборке.
Литература: [7, гл.1: §§1-5, гл.2 : §§1-3, гл.3: §§1-5, гл.4: §§1-3, гл.5 §1, гл.6: §§1,2, гл.7: §§1,2]; [8, гл.1 §1, гл.2 §§1-4, гл.3 §1, гл.4 §§1,3].