14.
Определенный интеграл, основные
теоремы.
К
понятию определенного интеграла можно
прийти при решении задачи нахождения
площади криволинейной трапеции АВСD
На
каждом отрезке [xi-1,xi]
выберем некоторую точку ξi
и обозначим ∆xi=xi
-xi-1.
Сумму
вида будем называть
интегральной суммой для функции
y=f(x)
на отрезке [a,b].
Определенным
интегралом называется предел n-ой
интегральной суммы при
Геометрический
смысл определенного интеграла:
это площадь
криволинейной
трапеции,
ограниченной слева прямой х=а, справа
прямой x=b,
сверху кривой y=f(x),снизу
осью Ох.
Теорема.
Если функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [a,b],
то она интегрируема на этом отрезке.
-
6.
если
то
-
Теорема
о среднем.
Пусть функция f(x)
непрерывна на [a,b],
тогда найдется такая точка
,
что
-
Если
функция y=f(x)
интегрируема на отрезке [a,b],
то она интегрируема также на произвольном
отрезке [a,х],
вложенном в [a,b].
Положим
-
где
х принадлежит отрезку [a,b].
-
Функция
Ф(х) называется интегралом с переменным
верхним пределом.
-
Теорема.
Пусть функция y=f(x)
непрерывна на интервале [a,b]
и F(x)
–любая первообразная для f(x)
на [a,b].
Тогда определенный интеграл от функции
f(x)
на [a,b]
равен приращению первообразной F(x)
на этом интервале, т. е.
(1)
-
Формула
(1) – формула Ньютона-Лейбница.
Она утверждает, что определенный
интеграл равен
разности значений
первообразной
при верхнем
и нижнем
пределах интегрирования.
-
Для
вычисления определенного
интеграла
нужно найти первообразную подынтегральной
функции (неопределенный интеграл) и
из значения первообразной при верхнем
приделе вычесть значение первообразной
при нижнем пределе интегрирования.
|