
§7. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора
Определение
1. Ненулевой
вектор
называется
собственным
вектором
линейного оператора
,
если под действием
этот вектор переходит в коллинеарный
ему вектор
,
т.е.
или
При этом число
называетсясобственным
числом
оператора
.
Займемся теперь вопросом о нахождении собственных векторов и собственных чисел линейного оператора.
Пусть в
φ:
,
т.е.
,
где
Тогда оператор
можно задать формулами:
или матрицей
.
Для того, чтобы
был собственным вектором с собственным
числом λ,
нужно чтобы
,
т.е.
Подставляя эти формулы в систему (1), получим:
или
.
Полученной системе
(2) должны удовлетворять координаты
собственных векторов и собственные
числа. Эта система однородная,
следовательно, она имеет ненулевое
решение при условии
.
Таким образом:
.
Это
так называемое характеристическое
уравнение
оператора
,
из которого можно находить собственные
числа
,
а затем, используя систему (2), находить
собственные векторы, соответствующие
этим
.
Характеристическое уравнение часто записывают в более компактной форме. Преобразуем левую часть:
.
Получим:
- характеристическое уравнение.
Пример:
Найти
собственные векторы и собственные числа
линейного оператора
,
заданного формулами:
Решение:
1) Составляем характеристическое уравнение:
2) Для нахождения собственных векторов составляем систему (2):
а) при
Таким образом,
числу
соответствует семейство свободных
векторов
;
б) при
Значит, собственному
числу
соответствует подпространство
свободных векторов
Ответ:
имеем собственные числа
;
и соответствующие семейства свободных
векторов
.
Отметим, что
приведенные рассуждения аналогичны и
для
и
.
Например, в случае
,
если оператор
задан формулами
,
то характеристическое
уравнение
имеет следующий вид:
,
а координаты собственных векторов
находятся из системы: