Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Это дифференциальные уравнения вида:

или

Проинтегрировав, найдем y.

Пример.

Решение:

Пусть

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Это дифференциальные уравнения вида:

Решается заменой

Подставим в исходное уравнение, получим

Проинтегрировав, найдем функцию Z, а затем функцию y.

Пример.

Решение:

Пусть

Тогда , так как

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Это дифференциальные уравнения вида:

Решается подстановкой:

Подставим полученное в уравнение :

Подставив в равенство значение функцииu, получим дифференциальное уравнение с разделяющимся переменными, решив которое, найдем функцию v, а затем и функцию y.

Пример.

Решение:

Подставим в уравнение ,

Подставим значения uв равенство (2), получим:

Тогда,

Так как при x=1, , то подставив в общее решение, получим:

Подставим значение Cв общее решение, получим:

Проверка:

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

Иногда решение дифференциальных уравнений второго порядка можно свести к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка. Тогда говорят, что дифференциальное уравнение допускает понижение порядка.

Это дифференциальные уравнения вида:

или

Пример 1.

Пример 2.

Уравнения этого типа решаются заменой переменной Следовательно,

Подставим в дифференциальное уравнение .

Подставив значение zв дифференциальное уравнение , найдем функциюy.

Пример.

Решение:

Так как при x= 1, y = 0 и при x = 1, , то

Ответ:.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Это дифференциальные уравнения вида:

При получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

Для его решения составим характеристическое уравнение:

При его решении возможны следующие три случая:

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка находим по формуле:

2. ЕслиD=0, то общее решение находится по формуле:

Тогдаобщее решение дифференциального уравнения находим по формуле:

3. , то корни комплексно - сопряженные.

Тогда общее решение находится по формуле:

Пример 1.

Решение:

При

При

Ответ:

Пример 2.

Решение:

2 способ:

При

При

Ответ:

Пример 3.

Решение:

При

Ответ:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

Теорема. Общее решение неоднородного дифференциального уравненияравняется сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравненияyи частного решения неоднородного уравнения.

Для дифференциального уравнения второго порядка, у которого правая часть имеет специальный вид, применяются методы подбора формы записи частного решенияпо виду,а затем метод неопределенных коэффициентов.

Возможны следующие виды :

1. Если многочленn ‒ й степени.

где‒ многочлен, той же степени, что и, но с неопределенными коэффициентами (A, B, C, D…), r‒ число корней характеристического уравнения, равных нулю, то есть r= 0, или r= 1, или r= 2.

Пример.

Решение:

Подставим в исходное уравнение.

2. Если правая часть уравнения , где α ‒ любое число, тогда

, где r ‒ число корней характеристического уравнения, равных α, то есть r= 0, или r= 1, или r= 2.

В частном случае , то, гдеA‒неопределенный коэффициент.

Пример.

Решение:

3. Если ,a и b‒ действительные числа.

,где r ‒ число корней характеристического уравнения, совпадающих с(еслиD< 0) и r= 0(если D≥ 0).

Пример.

Решение:

D= 0

Ответ:.