
- •Мультимедийные лекции
- •Содержание
- •Множества Элементы теории множеств. Операции над множествами.
- •Операции над множествами.
- •Функция Понятие функции. Основные свойства функции.
- •Основные элементарные функции и их графики.
- •Предел последовательности Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
- •Предел функции Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Основные теоремы о пределах функций.
- •Техника вычесления пределов Замечательные приделы.
- •Первый замечательный придел.
- •Техника дифференцирования:
- •Примеры применения производной в экономике.
- •Приложения производной к исследованию функций и построению графиков. Исследование функции на монотонность (возрастание и убывание функции)
- •Экстремум функции (исследование функции на экстремум функции)
- •Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.
- •Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты.
- •Общая схема исследования функций и построения графиков.
- •Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства.
- •Основные приемы интегрирования
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Интегрирование некоторых видов иррациональных функций.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •Числовые ряды. Сумма ряда.
- •Эталонные ряды.
- •Признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Достаточные признаки
- •Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.
- •Степенные ряды. Область сходимости. Теорема н. Абеля.
- •Свойства степенных рядов
- •Ряд Маклорена. Ряд Тейлора.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Это дифференциальные уравнения вида:
или
Проинтегрировав, найдем y.
Пример.
Решение:
Пусть
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Это дифференциальные уравнения вида:
Решается заменой
Подставим
в исходное уравнение,
получим
Проинтегрировав, найдем функцию Z, а затем функцию y.
Пример.
Решение:
Пусть
Тогда
,
так как
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Это дифференциальные уравнения вида:
Решается подстановкой:
Подставим
полученное в уравнение
:
Подставив
в равенство
значение
функцииu,
получим дифференциальное уравнение с
разделяющимся переменными, решив
которое, найдем функцию v,
а затем и функцию y.
Пример.
Решение:
Подставим
в уравнение
,
Подставим значения uв равенство (2), получим:
Тогда,
Так
как при x=1,
,
то подставив в общее решение, получим:
Подставим значение Cв общее решение, получим:
Проверка:
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
Иногда решение дифференциальных уравнений второго порядка можно свести к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка. Тогда говорят, что дифференциальное уравнение допускает понижение порядка.
Это дифференциальные уравнения вида:
или
Пример 1.
Пример 2.
Уравнения
этого типа решаются заменой переменной
Следовательно,
Подставим
в дифференциальное уравнение
.
Подставив
значение zв
дифференциальное уравнение
,
найдем функциюy.
Пример.
Решение:
Так
как при x=
1, y
= 0 и при x
= 1,
,
то
Ответ:.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Это дифференциальные уравнения вида:
При
получим линейное однородное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами:
Для его решения составим характеристическое уравнение:
При его решении возможны следующие три случая:
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка находим по формуле:
2. ЕслиD=0, то общее решение находится по формуле:
Тогдаобщее решение дифференциального уравнения находим по формуле:
3.
,
то корни комплексно - сопряженные.
Тогда общее решение находится по формуле:
Пример 1.
Решение:
При
При
Ответ:
Пример 2.
Решение:
2 способ:
При
При
Ответ:
Пример 3.
Решение:
При
Ответ:
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Теорема.
Общее решение
неоднородного дифференциального
уравненияравняется
сумме общего решения соответствующего
однородного дифференциального уравненияyи
частного решения неоднородного уравнения.
Для
дифференциального уравнения второго
порядка, у которого правая часть имеет
специальный вид, применяются методы
подбора формы записи частного решенияпо
виду
,а
затем метод неопределенных коэффициентов.
Возможны
следующие виды
:
1.
Если
многочленn
‒ й степени.
где‒
многочлен, той же степени, что и
,
но с неопределенными коэффициентами
(A,
B,
C,
D…),
r‒
число корней характеристического
уравнения, равных нулю, то есть r=
0, или r=
1, или r=
2.
Пример.
Решение:
Подставим в исходное уравнение.
2.
Если правая часть уравнения
,
где α ‒ любое число, тогда
,
где r
‒ число корней характеристического
уравнения, равных α, то есть r=
0, или r=
1, или r=
2.
В
частном случае
,
то
,
гдеA‒неопределенный
коэффициент.
Пример.
Решение:
3.
Если
,a
и b‒
действительные числа.
,где
r
‒ число корней характеристического
уравнения, совпадающих с
(еслиD<
0) и r=
0(если D≥
0).
Пример.
Решение:
D= 0
Ответ:.