Интегрирование тригонометрических функций.

1 тип.

Возможны два случая:

1. Если хотя бы один из показателей m илиn‒ нечетный, то соответствующая функция подводится под дифференциал и интеграл сводится к вычислению двух интегралов от степенных функций по формуле:

Пример:

Решение:

Если оба показателя m или n‒ нечетные, то множитель для подведения под дифференциал отделяют от меньшей из степеней.

2. Если оба показателя степени m или n‒ четные, интеграл находится понижением порядка (степени) в два раза с помощью следующих формул тригонометрии:

Пример:

Решение:

2 тип.

Интегралы вида

берутся по следующим формулам тригонометрии:

Пример:

Решение:

3 тип.

Интегралы вида,

где ‒ рациональная функция относительно.

Интегралы этого вида берутся универсальной подстановкой , далее используются формулы тригонометрии, выражающиечерез:

Пример:

Решение:

Интегрирование некоторых видов иррациональных функций.

1 тип.

Интегралы вида

берутся выделением полного квадрата под корнем и сводятся к следующим табличным:

Пример 1:

Решение:

Пример 2:

Решение:

2 тип.

Интегралы вида

берутся выделением в числителе производной от подкоренного выражения:

, при этом исходный интеграл разобьется на сумму двух интегралов.

Первый из них

Второй интеграл относится к интегралам первого типа, рассмотренным выше.

Пример:

Решение:

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА ‒ ЛЕЙБНИЦА.

Определенным интегралом от функции f(x)на промежутке[a;b] называется приращение первообразной функции F(x) при изменении аргумента от x = a до x = b.

Обозначается

где a ‒ нижний предел интегрирования, а b‒верхний предел интегрирования.

Из определения следует:

Пример.

Решение:

Свойства определенного интеграла.

3. Если функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке[a, b], то

то есть постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.

5. Если , то

Приемы вычисления определенного интеграла такие же, как и неопределенного интеграла.

Метод замены переменной в определенном интеграле.

При выполнении замены переменной в определенном интеграле надо:

1. под знаком интеграла заменить старую переменную на новую;

2. пересчитать пределы интегрирования.

Пример 1.

Решение:

Пример 2.

Решение:

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Воспользовавшись формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле

получим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.Которая примет вид:

Пример1.

Решение:

Пример 2.

Решение:

КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, КАК ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Криволинейной трапецией называется геометрическая фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции y = f (x), отрезками прямых x = a иx = b и отрезком [a; b] осиOX.

Разобьем отрезок [a; b] на n‒ отрезков точками . На каждом отрезкевыбираем точку(кси),

Построим прямоугольники с основанием: и высотой

f(), тогдаСумманазываетсяинтегральной суммой.

при Получим:

Рис. 16

Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Геометрический смысл определенного интеграла.

Определенным интегралом от функции f (x) на промежутке [a; b] называется предел интегральной суммы(1).

Геометрический смысл.

Определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции

f(x) на промежутке [a; b] численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции:

Геометрические приложения определенного интеграла.

1. Вычисление S фигуры.

1) Если геометрическая фигура ограничена графиками двух непрерывных неотрицательных функций и.

2) Если геометрическая фигура ограничена графиком

3) Если

Пример.

Решение:

(3; 5), (6; 8) ‒ точки пересечения линии.

Второй способ:

(5; 9) ‒ вершина параболы.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

1. Задача о нахождении закона движения материальной точки.

Обозначив‒ путь в момент времени,‒скорость, тогда из физического смысла производной следует, что

или

Если , то получим, проинтегрировав это равенство, получим закон движения:

2. Задача о размножении бактерий.

Пусть ‒ число бактерий в момент времени.Так как скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, то по аналогии с предыдущим.

где ‒ коэффициент пропорциональности.

Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений.

1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию yи ее производные или дифференциалы.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

Пример.

Решением дифференциального уравнения называется функция, обращающая его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения называется решение, содержащее столько произвольных постоянных C, каков порядок дифференциального уравнения.

так как

то

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего решения при определенных начальных значениях независимой переменной и искомой функции.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения называется задачей Каши.

Геометрически общее решение дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых; частное решение ‒ единственная кривая, проходящая через данную точку .