Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства.

Функцию, восстанавливаемую по ее производной или дифференциалу, называют первообразной.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции

f(x) на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка

F'(x) = f(x)

или, что тоже,

dF(x) = f(x)dx

Например, F(x) = sin x является первообразной для f(x) = cos x на всей числовой оси OХ, так как

(sin x)' = cos x

Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на [a;b], то функцияF(x) + С, где Cлюбое действительное число, также является первообразной для f(x)при любом значении C. Действительно (F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x).

Пример.

тогда

Определение. Если F(x) одна из первообразных для функции f(x) на [a;b], то выражение F(x) + С, где C произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом ʃ f (x) dx (читается: неопределенный интеграл от f(x) на dx). Итак,

ʃf(x)dx = F(x) + C ,

где f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx‒ подынтегральным выражением, x ‒ переменной интегрирования, а символ ʃ‒ знаком неопределенного интеграла.

Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства.

Из определения неопределенного интеграла следует, что:

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Действительно, F'(x) = f(x) и ʃ f(x) dx = F(x) + C. Тогда

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

Действительно,

3. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная:

Действительно, F'(x) = f(x). Тогда,

4. Неопределенный интеграл от дифференциала равен дифференцируемой функции плюс произвольная постоянная:

.

Действительно, . Тогда,

.

5. Постоянный множитель k (k ≠ 0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

6. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Назовем график первообразной F(x) интегральной кривой. График любой другой первообразной F(x) + C получается параллельным переносом интегральной кривой F(x) вдоль оси OY.

Пример.

Таблица основных интегралов

Основные приемы интегрирования

1. Непосредственное (табличное) интегрирование.

Непосредственное (табличное) интегрирование ‒ это приведение интеграла к табличному виду с помощью основных свойств и формул элементарной математики.

Пример 1.

Решение:

Пример 2.

Решение:

Пример 3.

Решение:

2. Метод подведения под дифференциал.

Пример 1.

Решение:

Пример 2.

Решение:

Пример 3.

Решение:

Пример 4.

Решение:

Пример 5.

Решение:

Пример 6.

Решение:

Пример 7.

Решение:

Пример 8.

Решение:

Пример 9.

Решение:

Пример 10.

Решение:

3. Второй способ подведения под дифференциал.

Пример 1.

Решение:

Пример 2.

Решение:

4. Методзамены переменной (подстановки).

Пример.

Решение:

5. Метод интегрирования по частям.

По этой формуле берутся следующие типы интегралов:

1 тип.

,формула применяется n‒ раз, остальное dv.

2 тип.

,формула применяется один раз.

Пример 1.

Решение:

Пример 2.

Решение:

Пример 3.

Решение:

Пример 4.

Решение:

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов ‒ степениm и ‒ степениn,

Возможны следующие случаи:

1. Если , то применяют метод деления углом для исключения целой части.

2. Если и в знаменателе квадратный трехчлен, то применяют метод дополнения до полного квадрата.

Пример 1.

Решение:

Пример 2.

Решение:

3. Метод неопределенных коэффициентов при разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Любую правильную рациональную дробь , где, можно представить в виде суммы простейших дробей:

гдеA, B, C, D, E, F, M, N,… ‒ неопределенные коэффициенты.

Для нахождения неопределенных коэффициентов надо правую часть привести к общему знаменателю. Так как знаменатель совпадает со знаменателем дроби правой части, то их можно отбросить и прировнять числители. Затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхx в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений с n‒ неизвестными. Решив эту систему, найдем искомые коэффициенты A, B, C, D и так далее. А, следовательно, разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби.

Рассмотрим на примерах возможные варианты:

1. Если множители знаменателя линейны и различны:

2. Еслисреди множителей знаменателя есть краткие множители:

3. Если среди множителей знаменателя есть квадратный трехчлен, неразложимый на множители:

Примеры: Разложить на сумму простейших рациональную дробь. Проинтегрировать.

Пример1.

Так как знаменатели дробей равны, то должны быть равны и числители, т. е.

Далее сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях xв левой и правой частях. Получаем систему:

значит

поэтому

Пример 2.

Отсюда

Значит

Поэтому

тогда

Пример 3.

Значит

тогда