Техника дифференцирования:

Пример 1.

Пример2.

Пример3.

Пример4.

Примеры применения производной в экономике.

Рассмотрим примеры применения производной в экономике.

Задача 1. Зависимость между издержками производства и объемом выпускаемой продукциивыражается функцией(ден.ед.) Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 единиц.

Решение: Средние издержки (на единицу продукции) выражаются отношением: , при(д.е.) – средние издержки.

Предельные издержки выражаются функцией при 10 ед. получим(д.е) – предельные издержки.

Таким образом, средние издержки на производство единицы продукции составляют 45ден.ед., но предельные издержки (т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства) составляют 35ден.ед.

Задача 2. Зависимость между себестоимостью единицы продукции (тыс.руб.) и выпуском продукции(млрд.руб.) выражается функцией:. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млрд.руб.

Решение: По формуле ,

При

То есть при выпуске продукции, равном 60 млрд.руб., увеличение выпуска на1% приводит к снижению себестоимости на 0.6%.

Задача 3. Опытным путем установлены функции спроса и предложения.

,

,

где ‒ цена товара,

‒количество покупаемого товара;

‒количество товара, предлагаемого на продажу в единицу времени.

Найти:

а) равновесную цену (т.е. цену, когда спрос равен предложению);

б) эластичность спроса и предложения для этой цены;

в) изменение спроса при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение:

а) равновесная цена определяется из условия:

; ‒ равновесная цена.

б) эластичность по спросу и предложению

Для равновесной цены;;

Так как ,по абсолютной величине <1, то и спрос, и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это значит, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. Т.е. при увеличении ценына 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.

в) При увеличении цены p на 5% от равновесной спрос уменьшится на , а, следовательно, доход возрастает на 5%‒1,5%=3,5%.

Приложения производной к исследованию функций и построению графиков. Исследование функции на монотонность (возрастание и убывание функции)

Теорема. Для того чтобы, дифференцируемая в интервале (a, b), функция y = f(x) возрастала (убывала) на интервале (a, b)необходимо и достаточно, чтобы ее производная

f ′(x) ≥ 0 (f ′(x) ≤ 0)для∀ x ∈ (a,b).

Рис. 9График возрастающей функции

f ′(x) = k_кас = tg α> 0, т. к. α – острый угол.

Рис. 10График убывающей функции

tg α< 0, т. к. α – тупой угол.

Экстремум функции (исследование функции на экстремум функции)

Определение. Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x), если существует δ − окрестность точки x₀, такая, что для всех x ≠ x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f (x)< f (x₀),

(f (x)< f (x₀)).

Определение. Значение функции в точках максимума (минимума) называют экстремумами функции (ext max, ext min).

Рис.11

Рис.12

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у = f(х) в точкеимеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, то есть

Теорема (достаточное условие экстремума). Если функция у = f (х) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки (кроме, быть может, самой точки) и при переходе аргументаx через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то‒ точка максимума; еслименяет знак с минуса на плюс, то‒ точка минимума.

Определение. Точки, в которых производнаяравна нулю или не существует, называютсякритическими точками функции.

Пример. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Решение:

1) D (y) = R, то есть .

2)

Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервалы: (˗∞; 0), (0; 1) и (1; +∞). Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:

x	(˗∞; 0),	0	(0;1)	1	(1;+∞)
	˗	0	˗	0	+
y		нет экстр.		min

Из таблицы видно, что в точке х = 0 нет экстремума, а х = 1 ‒ точка минимума. Минимум этой функции равен:

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной.

3) y(0) = 5, (0; 5) ˗ точка пересечения с OY.