Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно большойфункцией при х →x₀, если f(x) = .

Определение 2. Функцияf(x) называется бесконечно малой функцией при х →x₀, если f(x) = 0.

Основные теоремы о пределах функций.

Теорема 1. Предел постоянной величины равен самой постоянной:

c = c.

Теорема 2. Пределсуммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

= f(x)φ(x).

Теорема 3.Пределпроизведения двух функций равен произведению их пределов:

= f(x)φ(x).

Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на передел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

,  0.

Теорема 5. (О пределе промежуточной функции) Если в окрестности точки x₀выполняются неравенства:

и==А, то .

Техника вычесления пределов Замечательные приделы.

Пример 1.

Будем говорить, что предел отношения двух функций есть неопределенность вида или, если числитель и знаменатель дроби одновременностремятся к нулю или к бесконечности. Раскрыть эти неопределенности – значит вычислить предел отношения, если он существует или установить, что этот предел не существует.

Пример 2.

Из рассмотренного примера следует правило: чтобы раскрыть неопределенность вида приx→x₀ функции, заданной в виде отношения двух многочленов, необходимо в числителе и знаменателе выделить множитель x−x₀ и дробь на него сократить.

При вычислении пределов отношения двух многочленов при x→дляраскрытия неопределенности виданадо числитель и знаменатель дроби разделить наx в старшей степени.

Пример 3.

Пример 4.

Первый замечательный придел.

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице.

Следствие 1.

Следствие 2.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Второй замечательный придел.

–экспонента.

Следствие 1.

Пример 1.

Пример 2.

Неопределенность

Пример 1.

Пример 2.

Квадратный трехчлен. Неопределенность

Пример 1.

Пример 2.

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. МЕХАНИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции в общем виде:

Производная функции в точке x₀:

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Пример 1.

y = C; где С = const

∆y = C – C = 0;

Пример2.

Производная степенной функции:

Механический смысл производной связан с производной от пути.

Производная от пути в некоторый момент времени равняется скорости в этот момент времени.

Sʹ(t₀) = V(t₀) или Sʹ_t = V

Sʹʹ(t₀) = Vʹ(t₀) = a(t₀)

Пример 3.

,

t₀ = 1c,

Решение:

V(t₀ = 1) =

Sʹʹ(t) =

a(t₀ = 1) = Sʹʹ (1) = 2 · 1 + 8 = 10 м/с²

Вывод:

Производная – это скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной.

Рис.8

Значение производной функции y = f (x)в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна .

Воспользовавшись уравнением прямой, получим уравнение касательной:

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Из условия перпендикулярности двух прямых , получим уравнение нормали. Так как

Тогда уравнение нормали имеет вид:

Пример 4.

Найти уравнение нормали и касательной к параболе.

Решение:

–уравнение касательной.

Теорема. Пусть функции и– дифференцируемы в точкеx. Тогда:

1) Производная суммы (разности) двух функций:

2) Производная произведения двух функций:

3) Производная частного двух функций:

4) Производная от переменной равна единице:

5) Производная сложной функции

Пусть , тогдаявляется сложной функцией переменнойx, а переменную и называют промежуточным аргументом.

Сложная функция– это зависимость двух и более функций друг от друга.

Производная сложной функции находится по формуле:

и

Пример 5.

6) Производная обратной функции

Пусть функция строго монотонна в интервале, тогда для нее существует обратная функция.

Находится по формуле:

Пример 6.

Так как

Аналогично выводятся производные других функций.

7) Производные гиперболических функций.

Гиперболические функции определяются следующими формулами:

Производные гиперболические функции находятся по формулам:

1.

2.

3.

4.