Вопрос 4. Евклидово пространство.

Введем в пространстве R метрику, т.е. операции нахождения длины вектора и угла между векторами.

Для этого определим операцию скалярного произведения векторов и .

Если = (,, …,),= (,, …,), то·=++ … + +. Обозначается следующим образом:

· = (,).

Следовательно, ·= (,)││² = ++ … +,

т. е.

││= ‒ длина (норма) вектора.

Обозначим = (,).

Тогда

Линейное векторное пространство Rназывается евклидовым, если в нем задана метрика.

Вопрос 5. Ортогональный и ортонормированный базис.

Система векторов e₁, е₂, …, е_n называется ортогональной, если (е_i ,е_j) = 0 при i  j, и нормированной, если │е_i│ = 1 для всех i = 1, 2,..., n.

Если векторы системы ортогональны и нормированы, они называются ортонормированными.

Пример. Чтобы нормировать ненулевой вектор, необходимо разделить его на норму.

Пусть задан вектор x = (1, –1, 2, 0).

Его норма |x| = . Нормированный вектор имеет вид

. Его длина │е│= 1.

Теорема 1. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Теорема 2. Во всяком n‒ мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Вопрос 6. Переход к новому базису.

Пусть в пространстве R заданы два базиса: старый ,, … ,и новый,, … ,.

Выразим связь между базисами, разложив векторы нового базиса по векторам старого базиса:

Связь между базисами задается матрицей , записанной в транспонированном виде:

А =

Координаты вектора в новом базисе находятся с помощью обратной матрицы .

где – матрица перехода от старого базиса к новому;

Пример.

Дано	Решение
(1; 1; 0), (1; –1; 1), (–3; 5; –6), (4; –4; 5). В базисе , ,.	1) Докажем, что векторы и являются линейно независимыми, т. е. образуют базис. Для этого составим их линейную комбинацию и приравняем ее к нулевому вектору. · +·+= . Получим:
Доказать, что векторы и сами образуют базис и найти координаты векторав этом базисе.
Следовательно, получим однородную систему: ∆ = = 6– 3 + 0 – 0 – 5 + 6 = 4  0 Следовательно,система имеет единственное решение и– линейно независимые, т. е. образуют базис. 2) Разложим векторы нового базиса по векторам старого базиса. . Координаты вектора . ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Ã=

Лекция № 11

Вопрос 1. Линейные операторы.

Рассмотрим два линейных векторных пространства: – размерности и– размерности.

Определение. Если задан закон или правило, по которому каждому вектору пространстваставится в соответствие единственный вектор ȳ пространства, то говорят, что задан оператор (отображение) как функцияпространствав пространство, т.е..

Вектор – прообраз вектора, вектор– образпри этом отображении.

Оператор называетсялинейным, если выполняются следующие два условия:

1. (+) =() +() – аддитивность;

2. (·) =·() – однородность.

Равенство можно представить в виде матричного уравнения:

Y = A · X,

где A – матрица линейного оператора . В координатном виде получим:

Зависимость между матрицами одного и того же операторав разных базисах задается формулой:

= ·,

где – матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример:

Линейный оператор задан матрицей:

;

;

Найти:

Решение:

;

.