Вопрос 5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Пусть плоскость проходит через точки М₁ = (),М₂ = () иМ₃ = (), не лежащие на одной прямой иМ (x, y, z)  – произвольная точка плоскости.

Векторы ,и‒ компланарные, т.к. находятся в одной плоскости. Следовательно,

· ·= 0.

Запишем это равенство в координатной форме:

‒ уравнение плоскости проходящей через три данные точки.

Лекция № 10

Вопрос 1. Понятие векторного (линейного) пространства.

Вектор в n‒ мерном пространстве.

n ‒ мерным вектором называется упорядоченная совокупность n ‒ действительных чисел, записываемых в виде:

= (,, …,),

где ‒i‒ компонента вектора =.

Для n ‒ мерных векторов имеют место операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие следующим свойствам:

1. +=+– коммутативность;

2. + (+) = (+) +– ассоциативность;

3. (= ()– ассоциативность;

4.  (+) = +  – дистрибутивность;

5. + (‒) =.

Линейным векторным пространством называется совокупность n ‒ мерных векторов с действительными компонентами, удовлетворяющих приведенным выше свойствам.

Вопрос 2. Размерность и базис векторного пространства.

Вектор называетсялинейной комбинацией векторов , , …,, если для любых чисел,, …,, не равных нулю одновременно, выполняется равенство:

= ·+·+ … +·

Векторы ,, …,, называютсялинейно зависимыми, если их линейная комбинация равняется нулевому вектору.

· +·+ … +· = (1)

В противном случае векторы называются линейно независимыми, т. е. равенство (1) выполнится только для == … == 0.

Совокупность линейно независимых векторов векторного пространства R называется его базисом, а их количество называется размерностью векторного пространства.

Если в векторном пространстве Rимеется nлинейно независимых векторов, то размерность этого пространства обозначается dimR = n, dim – размерность (dimension).

Векторное пространство размерности n обозначается .

Теорема. Если векторы ,, … ,образуют базис векторного пространства, то любой вектор, можно единственным образом разложить по этим векторам:

= ++ … +.

Вопрос 3. Линейная оболочка и ее свойства.

Линейной оболочкой L (x₁, x₂) двух векторов x₁ и x₂, принадлежащих линейному пространству W, называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов

а = ·x₁ + β · х₂,где , β ϵR.

Иначе говоря, линейная оболочка состоит из бесконечного множества векторов а, представимых в виде линейных комбинаций векторов x₁ и x₂. В общем случае линейной оболочкой множества X векторов, принадлежащих линейному пространству W, называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов

Свойства линейной оболочки

1) Линейная оболочка содержит само множество X.

2) Если линейное пространство W содержит множество X, то:

а) пространство W содержит и его линейную оболочку L(X);

б) L(X) ‒ линейное подпространство пространства W.

Пример: Найти линейную оболочку множества решений системы уравнений:

Решение: Ранг матрицы коэффициентов системы уравнений равен 2. Выберем свободными переменными х₂ и х₄. Тогда общее решение однородной системы уравнений имеет вид

где c₁ , c₂ ϵ R .

Векторы £ = (‒1, 1, 0, 0) и η = (1, 0, ‒1, 1) образуют фундаментальный набор решений однородной системы. Любое решение системы является их линейной комбинацией. Значит, линейная оболочка векторов £ и η является множеством решений однородной системы уравнений,

т.е. L(£,η) =где,ϵR .