Лекция № 8

Вопрос 1. Векторы (основные понятия и определения).

Все величины делятся на скалярные и векторные.

Скалярные величины характеризуются числовым значением (вес товара, стоимость и т.д.)

Векторные величины характеризуются числовым значением и направлением.

Вектором называется направленный отрезок, на котором указаны начало, конец и направления.

Обозначается или,‒ длина вектора.

Векторы называются коллинеарными, если их направление совпадает или противоположно.

а) б)

‒коллинеарные.

Теорема. Признак коллинеарности векторов.

Для того чтобы былколлинеарен ненулевомунеобходимо и достаточно, чтобы существовало такое числоk, для которого выполнялось бы равенство:

= k ,

где k– коэффициент пропорциональности.

Векторы называются компланарными, если их можно поместить в одну плоскость путем параллельного переноса.

Сложение векторов

Правило треугольника

Правило параллелограмма

Разность векторов

=

Вопрос 2. Линейные операции над векторами.

Направляющие косинусы.

Положение вектора в пространстве задают направляющие Cos углов (, , j) вектора с осями координат:

Cos  =; Cos  =; Cos j =;

Пусть= ();= ();

1. Сумма (разность) векторов:

= ( (= () + (+ +(=(; .

2. Умножение вектора на:

· = (; ; ).

3. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением векторов называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

= ·Cos;

где =();

≤  ≤

Свойства:

1. = =–скалярный квадрат.

2. Если , то = 0; т.к. Cos= 0;

3. = ‒ коммутативность

4.  (= () =(·–ассоциативность

5. ()=+·–дистрибутивность

Выведем формулу скалярного произведения через координаты:

= ( · (=+ + ++++++=

= + +

= + +

– формула для нахождения скалярного произведения.

Вопрос 3.

1. Прямоугольный базис.

2. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.

3. Прямоугольные координаты вектора (точки).

4. Разложение вектора по базису.

При взаимных перпендикулярных единичных вектора , выходящих из одной точки, образуют прямоугольный базис в пространстве.

Прямые проведенные в направлении базисных векторов образуют прямоугольную декартову систему координат:

ОХ – в направлении ‒ ‒ ось абсцисс;

ОУ – в направлении ‒ ‒ ось ординат;

ОZ – в направлении ‒ ‒ ось аппликат;

‒орты координаты осей, т.е. ‒ орт оси ОХ и т.д.

= OM – радиус ‒ вектор точки М.

;= 1.

Прямоугольными координатами вектора (точки) называются проекции этого вектора (точки) на оси ординат.

= (x, y, z).

= = + =++= х+ у+z

= х + у+z

‒ разложение вектора по базису

Вопрос 4. Формулы для нахождения длины вектора, расстояния между точками и угла между векторами.

По свойству длинны диагонали прямоугольного треугольника, получим:

² = ² = ² + ² + ²,

т. е.

² = x² + y² + z,

следовательно

=.

Так как вектор можно свободно перемещать в пространстве, то длина произвольного вектора=.

По правилу сложения вектора =‒,

= (x₂ ‒ x₁; y₂ ‒ y₁; z₂ ‒ z₁)

Подставив координаты в формулу длины вектора, получим формулу для нахождения расстояния между точками:

‒ формула расстояния между точками.

Из формулы =cos α найдем

Cos α =

Или

если

= (= ().