Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой, образованный ею с положительным направлением оси OX.

k= α, a≠ 90⁰

Пусть на прямой даны две точки М₁(х_1, y₁), M₂ (х_2, y₂).

Найдем угловой коэффициент этой прямой. Из ∆М₁M₂С получим

т.е.

– формула углового коэффициента прямой по координатам.

Заменим точку М₂(x, y) на произвольную точку M(x, y) и подставим ее координаты в формулу (1).

Получим:

Из формулы (2) следует

y ‒ y₁= k × (x ‒ x₁)

– уравнение прямой проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором (нормалью).

Нормальным вектором прямой(нормалью) называется любой вектор перпендикулярный данной прямой.

Обозначается = (a, b).

Пусть на прямой дана точка М₁ (x_1,y₁) и дан нормальный вектор прямой = (a, b).

Пусть М (x_, y) произвольная точка прямой.

Тогда вектор перпендикулярен вектору. Следовательно, их скалярное произведение×= 0.

Запишем это равенство в координатной форме.

Так как =(а; b) и = (x –x₁; y –y₁), то равенство ×= 0, согласно формуле, × = x₁× x₂+ y₁× y₂, в координатной форме примет вид:

a· ( x–x₁) + b· (y–y₁) = 0

– уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором.

Общее уравнение прямой.

Раскроем скобки в уравнении a·(x‒x₁)+ b·(y‒y₁)=0.

Следовательно, ax ‒ ax₁+ by ‒ by₁ = 0 или ax + by +(‒ ax₁‒ by₁) = 0.

Обозначим ‒ ax₁ - by₁=с,

тогда получим общее уравнение прямой:

ax + by + с = 0

– общее уравнение прямой.

Выразим из общего уравнения прямойyчерез x:

Следовательно,

‒ формула углового коэффициента по координатам нормального вектора.

Вопрос 2. Формула угла между прямыми.

Угол между прямыми: ; равен углу между их нормальными векторами, т. е.

() =().

Воспользовавшись формулой скалярного произведения векторов, получим:

Тогда

Если прямые заданные уравнениями:

; ,

тогда

Следовательно,

По формулам (1) или (2) находят угол между прямыми.

Вопрос 3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Если , то = 0. Следовательно,  = 0 и =0.

Получим:

‒ условие параллельности прямых.

Если , то  = и ‒ не существует, то есть = 0. Следовательно,

‒ условие перпендикулярности прямых.

Пример:

Даны уравнения сторон треугольника

,

,

.

Найти:

1) Длину │CD│ и уравнение высоты CD.

2) Систему неравенств определяющих треугольник.

3) B.

Решение:

Найдем координаты вершин треугольника.

A (– 4; 8)

.

B (5; – 4)

C (10; 6)

1) Найдем уравнение высоты CD.

CD AB

;

.

│· 4

–уравнение высоты CD.

D (2; 0)

Найдемдлину │CD│.

2) Найдем систему неравенств определяющих треугольник.

,

,

.

или – уравнениеAB.

–уравнение BC.

или – уравнениеAC.

–система неравенств определяющих ∆ABC.

3) Найдем B.

или

Вопрос 4. Формула расстояния от точки до прямой.

;

││= d‒ расстояние от точки до прямой.

Тогда формула расстояния от точки до прямой примет вид:

ЛЕКЦИЯ № 14

Вопрос 1. Условия параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

1) Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.

Пусть дана плоскость () и дан направляющий вектор прямой ().

Если , то вектор. Следовательно, их скалярное произведение= 0.

В координатном виде получим:

– условие параллельности прямой и плоскости.

2) Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

Если , то коллинеарен, тогда по признаку коллинеарности их координаты пропорциональны. Следовательно, получим:

– условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Вопрос 2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

Пусть дана плоскость  и вектор = (A, B, C) , пусть точка () ϵ и точка произвольная точка плоскости.

Так как , то и , лежащему в плоскости. Тогда их скалярное произведение = 0.

Запишем это равенство в координатной форме. Получим:

– уравнение плоскости с нормалью.

Вопрос 3. Общее уравнения плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Раскроем скобки в уравнении , получим

Обозначим:

Получим:

– общее уравнения плоскости.

Пример:

Построить плоскость по ее уравнению .

При A (3; 0; 0)

При B (0; 2; 0)

При C (0; 0; 6)

Вопрос 4. Расстояние от точки до плоскости.

– формула для нахождения расстояния от точки () до плоскости.

Если плоскость , токоллинеарен. Тогда по признаку коллинеарности векторы пропорциональны.

Если (,,) и, то

– условие параллельности плоскостей.

Если , то и. Тогда= 0.

Следовательно,

– условие перпендикулярности плоскостей.

Примеры:

1)

, т. к. ;k = – 5.

2)

=>

ЛЕКЦИЯ № 15

Вопрос 1. Кривые второго порядка.

К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Кривыми второго порядка называются линии, уравнение которых могут быть записаны в виде , где некоторые действительные числа, называемыекоэффициентами уравнения, и, по крайней мере, один из коэффициентов или.

1) ОКРУЖНОСТЬЮ называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.

а) Окружность с центром в начале координат.

По теореме Пифагора

б) Окружность с центром в произвольной точке A₁ (x₀, y₀).

По теореме Пифагора получим уравнение окружности с центром в произвольной точке:

2) ЭЛЛИПСОМ называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, причем большая, чем расстояние между фокусами.

Из определения эллипса следует:

– расстояние между точками.

Введем обозначения – большая ось эллипса;

–малая ось эллипса,

–расстояние между фокусами,

где .

Тогда получим координаты вершин и фокусов эллипса:

(‒a; 0) (a; 0)

(0; b) (0; ‒b)

(‒c; 0) (c; 0)

Подставив полученные координаты в формулу , и воспользовавшись формулой расстояния между точками, и выполнив необходимые преобразования, получимканоническое уравнение эллипса с центром в начале координат:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния до фокуса к половине большой оси, обозначается :

< 1;

У эллипса 0 << 1.

У окружности = 0, поэтому эксцентриситет .

3) ГИПЕРБОЛОЙ называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, причем меньшая, чем расстояние между фокусами.

Из определения следует

Введем обозначения – действительная ось гиперболы;

–мнимая ось гиперболы;

–расстояние между фокусами,

где .

Тогда получим координаты вершин и фокусов гиперболы:

(-a; 0) (a; 0)

(0; b) (0; -b)

(-c; 0) (c; 0)

Преобразовав формулу , получим (каноническое) уравнение гиперболы:

Эксцентриситет гиперболы: > 1.

Уравнения асимптот гиперболы (PL) и (NK):

.

4) ПАРАБОЛОЙ называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

1. Пусть‒ произвольная точка параболы.

Из определения следует, что расстояние

Обозначим расстояние – параметр параболы.

Тогда ось OYделит пополам, ,

Подставив в формулу координаты точек и, воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками,

, получим:

Откуда получим уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви вправо):

Аналогично выводятся уравнения параболы в остальных трех случаях.

2. Уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви влево).

–фокус

–уравнение директрисы.

3. Уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви вверх).

–фокус

–уравнение директрисы.

4. Уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви вниз).

–фокус

–уравнение директрисы.