Лекция № 12

Вопрос 1. Линейная модель обмена (международной торговли).

Пусть имеется n ‒ стран ,, …,, национальный доход которых обозначим соответственно,, …,.

Обозначим – долю национального дохода, которуюj – страна тратит на закупку товаров у i –страны. (i = ;j= )

Предположим, что весь национальный доход тратится либо на закупку товаров внутри страны, либо на импорт их из других стран.

Получим структурную матрицу торговли:

Из равенства (1) следует, что сумма элементов любого столбца матрицыАравна единице.

Для любой страны выручка от внутренней и внешней торговли будет находиться по формуле:

= ++ … +.

Для сбалансированной торговли нужна бездефицитность торговли каждой страны , т.е. выручка от торговли должна быть не меньше ее национального дохода:

(2)

Запишем неравенство (2) в виде системы линейных неравенств:

(3)

Сложив левые и правые части неравенств системы, получим:

(++ … +)+ (++ … +)+ … + (++ … +)++ … +.

Учитывая равенство (1) получим, что левая часть неравенства равна правой части, и система неравенств (3) станет системой уравнений.

A · X = XA · X – X = 0; (A – E) · X = 0

Задача свелась к нахождению собственного вектора матрицы A при = 1.

Пример. Структурная матрица торговли четырех стран име­ет вид:

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансиро­ванной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюд­жетов задана:

Решение: Необходимо найти собственный вектор , отве­чающий собственному значению λ = 1 заданной структурной матрицыА, т.е. решить уравнение, которое в нашем случае имеет вид:

Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвест­ных является свободной переменной и остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компонен­ты собственного вектора :

Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, найдем величину с: с = 1210, откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в условных денежных единицах):

Лекция № 13

Вопрос 1. Уравнения прямой (различные виды). Параметрические уравнения прямой.

Направляющим вектором прямой называется любой вектор параллельный данной прямой.

Пусть на прямой дана точка с координатами (,) и дан направляющий вектор прямой= (,).

Пусть точка М (x, y) – произвольная точка прямой, тогда вектор коллинеарен вектору.

По признаку коллинеарности эти векторы пропорциональны.

Обозначим коэффициент пропорциональности tи назовем параметром.

Тогда получим =t· .

Запишем это равенство в координатной форме:

() =t (,).

Следовательно,

(1)

– параметрические уравнения прямой на плоскости.

По аналогии, в пространстве получим:

Уравнение прямой проходящей через две данные точки

Из параметрических уравнений прямой выразим параметрt.

Получим:

– уравнение прямой проходящей через данную точку с данным направляющим вектором (каноническое уравнение).

В пространстве уравнение (2) примет вид:

Пусть на прямой даны две точки (,) и(,).

Тогда

= = (‒;‒).

Подставим его координаты в формулу (2).

Получим:

– уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

В пространстве это уравнение примет вид: