1.2. Оценка благосостояния населения Санкт-Петербурга по экономическим показателям

На основе данных таблицы 3 построим следующую модель множественной регрессии, используя пакет «Анализ данных» MSExcel.

.

Из уравнения можно заключить, что:

1. существует обратная зависимость между среднедушевыми доходами населения, прожиточным минимумом и средним размером назначенных пенсий;

2. существует прямая зависимость между среднедушевыми доходами населения, среднемесячной номинальной заработной и ВРП на душу населения.

На основе построенной модели можно сравнить прогнозные значения и фактические значения среднедушевых денежных доходов населения (рис.1).

Рисунок 1. Сравнение фактических и прогнозных значений среднедушевых денежных доходов населения (первый вариант)

На основе модели можно также построить следующий график нормальной вероятности (рис. 2).

Рисунок 2. График нормальной вероятности

Говоря о качестве модели, можно отметить, что модель обладает хорошей объясняющей способностью, о чём свидетельствует высокий коэффициент детерминации – 0,992. Так как стремится к единице, то уравнение регрессии хорошо аппроксимирует эмпирические данные и использование регрессионной модели теоретически обосновано. Коэффициент детерминации=0,992, что свидетельствует о том, что изменение зависимой переменной (среднедушевых денежных доходов населения) в основном (на 99,2 %) можно объяснить совместным влиянием включенных в модель объясняющих переменных:  прожиточный минимум,  среднемесячная номинальная заработная плата,  средний размер назначенных пенсий,  ВРП на душу населения. Скорректированный коэффициент детерминации = 0,98. В отличие от, скорректированный коэффициент детерминацииможет уменьшаться при введении в модель новых объясняющих переменных, не оказывающих существенного влияния на зависимую переменную.Следовательно, для оценки адекватности модели множественной регрессии предпочтительнее использовать . Этот показатель имеет высокое значение (0,98) и незначительно отличается от, что говорит о том, что модель обладает хорошей объясняющей способностью.

Одновременно с этим, проверяя значимость модели по критерию Фишера, можно сказать, что модель статистически значима на уровне значимости 5 %, т.к. , что существенно меньше полученного фактического значения:.

Говоря о значимости отдельных коэффициентов регрессии, можно сказать, что три из них статистически незначимы, поскольку для анализируемой модели составляет 3,18 при уровне значимости 5%. Коэффициент для оказывается статистически значимым (Приложение Б).

Далее проверим модель на наличие мультиколлинеарности с помощью расчёта парных показателей корреляции для каждой пары факторов. Результаты проверки представлены в следующей таблице:

Таблица 4. Таблица парных коэффициентов корреляции

	1	–	–	–	–
	0,976	1	–	–	–
	0,98	0,98	1	–	–
	0,97	0,99	0,978	1	–
	0,97	0,993	0,967	0,99	1

Из таблицы видно, что между собой коррелируют все рассматриваемые факторы, в связи с чем необходимо отобрать факторы, которые оказывают наиболее существенное влияние на . С этой целью будем постепенно исключать из модели факторы с наибольшим значением парного коэффициента корреляции .

Из данной таблицы видно, что наибольший парный коэффициент корреляции у переменных и. Исключим из модели фактор.

Получим новую модель:

.

Рассмотрим таблицу парных показателей корреляции. Из таблицы видно, что между собой коррелируют все оставшиеся факторы. Исключим теперь фактор .

Полученное уравнение имеет вид:

.

На основе построенной модели можно сравнить прогнозные значения и фактические значения показателя среднедушевых доходов населения Санкт-Петербурга.

Рисунок 3. Сравнение фактических и прогнозных значений

среднедушевых денежных доходов населения

Теперь проверим значимость уравнения в целом (адекватность построенной модели линейной регрессии наблюдаемым реальным данным), для этого сформулируем гипотезу . В данном случае, а. Так как, то нулевая гипотеза отвергается, т.е. линейная модель значима.

Проведем тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции в остатках. Полученное значение DW=1,68, идляи.Следовательно, . Это значит, что вывод о наличии автокорреляции не определен.

Проверим значимость коэффициентов уравнения регрессии. Коэффициент при значим, так как =2,98, что больше =2,57. Коэффициент при незначим, так как =1,13, что меньше =2,57. Его наличие среди объясняющих переменных не оправдано со статистической точки зрения. Поэтому после установления того факта, что коэффициент незначим, рекомендуется исключить из уравнения регрессии переменную.

Рассмотрим парную модель зависимости от. Корреляционное поле представлено на рис. 4.

Рисунок 4. Корреляционное поле для

По виду корреляционного поля (рис. 4) можно сделать предположение о линейной зависимости среднедушевых денежных доходов населения от среднемесячной номинальной заработной платы. Проверим гипотезу об их линейной зависимости, для этого оценим тесноту связи. Вычислим средние значения по формулам ,и приведем данные, необходимые для дальнейших вычислений, в следующей таблице (табл.5):

;

Таблица 5. Расчеты коэффициента корреляции

-3824,73	-3743,35	14317284,33	1317674	1389569,44	14628521
-3285,33	-3084,15	10132435,1	2846981	3378244	10793360
-2461,13	-2338,65	5755709,981	6307632	6674472,25	6057136
-1277,33	-1454,15	1857422,149	13655242	12027024	1631559
462,075	-349,95	-161703,1463	29535964	20905012,84	213513,3
1494,875	1929,05	2883688,619	41828556	46938941,44	2234651
3183,875	3932,95	12522021,18	66528492	78412796,01	10137060
5707,675	5108,25	29156230,82	1,14E+08	100608924,16	32577554
0	0	76463089,03	2,76E+08	270334984,1	78273356

Получим следующие значения для показателей, характеризующих тесноту связи:

=	9557886
=	3127,966		=	0,988037
=	3092,622		=	0,976216

Вывод: так как =0,988037, то мы принимаем гипотезу о линейной зависимости между и, и связь между ними весьма высокая. Так как =0,976216 , то связь между переменными достаточно сильная и использование линейной регрессионной модели обосновано.

В результате получена модель парной регрессии:

.

Проинтерпретируем уравнение регрессии: так как = 0,97, то можно сделать вывод о том, что при увеличении среднемесячной номинальной заработной платы на 1 руб. среднедушевые денежные доходы населения увеличатся на 0,97 руб.

Одновременно с этим, проверяя значимость модели по критерию Фишера, можно сказать, что модель статистически значима на уровне значимости 0,05, так как = 5,9, что существенно меньше полученного фактического значения:=164.

Говоря о значимости коэффициентов регрессии, можно сказать, что коэффициент статистически значим, поскольку для анализируемой модели=2,44 при уровне значимости 5 %, а=15,69.

Построим две альтернативные модели: степенную и с квадратным корнем, сравним их с линейной моделью и выберем наилучшую. Для этого прежде всего посчитаем сумму квадратов остатков (ESS) для каждой модели (табл.6-8).