Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Matlab / Лекция 18

.docx
Скачиваний:
91
Добавлен:
19.03.2016
Размер:
394.4 Кб
Скачать

Лекция № 18

Matlab: Решение уравнений и их систем

  1. Решение уравнений и их систем

  2. Решение дифференциальных уравнений и их систем

1. Решение уравнений и их систем

Аналитическое решение уравнений и их систем.

Численное решение уравнений и их систем. Задача нахождения корней уравнений встречается в различных областях научно-технических исследований. Проблема формулируется следующим образом. Пусть задана непрерывная функция и требуется найти корень уравнения:

.

Будем предполагать, что имеется интервал изменения , на котором необходимо исследовать функцию и найти значение , при котором равно или весьма мало отличается от нуля.

Данная задача в системе Matlab может быть решена следующим образом. Вначале необходимо построить график функции на заданном интервале и убедиться в существовании корня или нескольких корней. Затем применить функции поиска корней.

Если существует один корень и график пересекает ось , то можно применить функцию:

Если имеет больше одного корня и может касаться и пересекать ось , то следует применить более мощную функцию fsolve из пакета Optimization Toolbox, которая решает задачу методом наименьших квадратов:

fsolve( fun, x0:h:x1),

поиск корней выполняется на интервале от x0 до x1 с шагом h.

Пример. Численно решить систему уравнений:

В этом случае необходимо создать файл-функцию для расчета значений уравнений от х:

function F = fun_07(x)

F = [2*x(1)-x(2)-2*x(3)+1;

2*x(2)+x(3)-3;

-2*x(1)-2*x(2)+2*x(3)+2];

При этом ввели вектор x размерности , такой что .

В основной программе делаем вызов функции fun_07 в функции fsolve:

x0=[10;30;-1];

X = fsolve('fun_07',x0)

Решение задачи определения корней полинома осуществляется при помощи встроенной функции roots(v), где v — вектор-столбец коэффициентов полинома, первым элементом которого является коэффициент при , вторым — коэффициент при и т. д.

2. Решение дифференциальных уравнений и их систем

Анализ поведения многих систем и устройств в динамике, а также решение многих задач в теории колебаний и в поведении упругих оболочек обычно базируется на решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), или, в оригинале, ordinary differential equations (ODEs). Их, как правило, представляют в виде системы из дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:

(1)

с граничными условиями — начальные и конечные точки интервалов. Параметр t (независимая переменная) необязательно означает время, хотя чаще всего решение дифференциальных уравнений ищется во временной области.

Система дифференциальных уравнений в форме Коши записывается аналогично (1), но под y в этом случае подразумевается вектор-столбец зависимых переменных. Вектор p задает начальные условия.

Для решения дифференциальных уравнений второго и высшего порядка их нужно свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Возможны дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной:

(2)

Уравнения (2) аналитически к форме (1) обычно привести не удается.

Однако численное решение особых трудностей не вызывает — достаточно для определения f(y,t) решить (2) численно относительно производной при заданных y и t.

Наряду с ОДУ MATLAB может оперировать с дифференциальными алгебраическими уравнениями (ДАУ, или differential algebraic equations — DAEs). ОДУ и ДАУ являются основой математического моделирования динамических нелинейных (и линейных) систем. Автоматическое их составление и решение реализованы в специальном расширении Simulink.

Аналитическое решение дифференциальных уравнений и их систем.

Пример 1. Аналитически решите дифференциальное уравнение первого порядка :

dsolve('Dy=y*cos(t)+sin(2*t)')

ans =

-2*sin(t)-2+exp(sin(t))*C1

Пример 2. Аналитически решите дифференциальное уравнение второго порядка :

dsolve('m*D2x+H*Dx+k*x=-sqrt(t)')

ans =

-2*m*(2*(-(2*H-2*(H^2-4*m*k)^(1/2))/m)^(1/2)*t^(1/2)*(-(2*H+2*(H^2-4*m*k)^(1/2))/m)^(1/2)*(H^2-4*m*k)^(1/2)+exp(-1/2*(H+(H^2-4*m*k)^(1/2))*t/m)*(-(2*H-2*(H^2-4*m*k)^(1/2))/m)^(1/2)*pi^(1/2)*erf(1/2*(-(2*H+2*(H^2-4*m*k)^(1/2))/m)^(1/2)*t^(1/2))*H-exp(-1/2*(H+(H^2-4*m*k)^(1/2))*t/m)*(-(2*H-2*(H^2-4*m*k)^(1/2))/m)^(1/2)*pi^(1/2)*erf(1/2*(-(2*H+2*(H^2-4*m*k)^(1/2))/m)^(1/2)*t^(1/2))*(H^2-4*m*k)^(1/2)-exp(-1/2*(H-(H^2-4*m*k)^(1/2))*t/m)*(-(2*H+2*(H^2-4*m*k)^(1/2))/m)^(1/2)*pi^(1/2)*erf(1/2*(-(2*H-2*(H^2-4*m*k)^(1/2))/m)^(1/2)*t^(1/2))*H-exp(-1/2*(H-(H^2-4*m*k)^(1/2))*t/m)*(-(2*H+2*(H^2-4*m*k)^(1/2))/m)^(1/2)*pi^(1/2)*erf(1/2*(-(2*H-2*(H^2-4*m*k)^(1/2))/m)^(1/2)*t^(1/2))*(H^2-4*m*k)^(1/2))/(H^2-4*m*k)^(1/2)/(H+(H^2-4*m*k)^(1/2))/(-(2*H+2*(H^2-4*m*k)^(1/2))/m)^(1/2)/(H-(H^2-4*m*k)^(1/2))/(-(2*H-2*(H^2-4*m*k)^(1/2))/m)^(1/2)+C1*exp(-1/2*(H+(H^2-4*m*k)^(1/2))*t/m)+C2*exp(-1/2*(H-(H^2-4*m*k)^(1/2))*t/m)

Пример 3. Аналитически решите систему дифференциальных уравнений :

F=dsolve('Dy0=a*y1','Dy1=y0+y1')

F =

y0: [1x1 sym]

y1: [1x1 sym]

>> F.y0

ans =

C1*exp(1/2*t+1/2*t*(1+4*a)^(1/2))+C2*exp(1/2*t-1/2*t*(1+4*a)^(1/2))

>> F.y1

ans =

1/2*(C1*exp(1/2*t+1/2*t*(1+4*a)^(1/2))+C1*(1+4*a)^(1/2)*exp(1/2*t+1/2*t*(1+4*a)^(1/2))+C2*exp(1/2*t-1/2*t*(1+4*a)^(1/2))-C2*(1+4*a)^(1/2)*exp(1/2*t-1/2*t*(1+4*a)^(1/2)))/a

Численное решение дифференциальных уравнений и их систем. Решение дифференциальных уравнений осуществляют функции ode23 и ode45. Они могут применяться как для решения простых дифференциальных уравнений, так и для моделирования сложных динамических систем.

Известно, что система дифференциальных уравнений может быть представлена в форме Коши:

где — вектор переменных состояния системы; — аргумент (обычно время); — нелинейная вектор-функция от переменных состояния и аргумента .

Обращение к процедурам численного интегрирования дифференциальных уравнений имеет вид:

[t,y]=ode23(‘имя функции’,tspan, y0, options)

[t,y]=ode45(‘имя функции’,tspan, y0, options)

где имя функции — строка символов, являющаяся именем m-файла, в котором вычисляется вектор-функция , т. е. в котором находятся правые части системы дифференциальных уравнений; — вектор начальных значений переменных состояния; — массив значений аргумента, соответствующих шагам интегрирования; — матрица проинтегрированных значений фазовых переменных, в которой каждый столбец соответствует одной из переменных состояния, а строка содержит значения переменных состояния, соответствующих определенному шагу интегрирования; tspan — вектор-строка , содержащая два значения: — начальное значение аргумента ; — конечное значение аргумента ; options — строка параметров, определяющих значения допустимой относительной и абсолютной погрешности интегрирования.

Для получения решений дифференциальных уравнений в определенные моменты времени можно указать явным образом tspan = [t0, t1, t2, …, tn].

Параметр options можно не указывать. Тогда по умолчанию допустимая относительная погрешность интегрирования принимается равной 1.0е-3, а абсолютная (по каждой из переменных состояния) — 1.0е-6.

Функция ode23 осуществляет интегрирование численным методом Рунге-Кутта 2-го порядка, а с помощью метода 3-го порядка контролирует относительные и абсолютные ошибки интегрирования на каждом шаге и изменяет величину шага интегрирования так, чтобы обеспечить заданные пределы ошибок интегрирования.

Для ode45 основным методом является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, а величина шага контролируется методом 5-го порядка.

Пример 4. Численно решите дифференциальное уравнение первого порядка :

tspan=[0 1];

y0=-1;

[T,Y] = ode45('fun_08_1',tspan,y0);

figure

plot(T,Y)

grid on

Содержание файла-функции fun_08_1:

function dy = fun_08_1(t,y)

dy=y*cos(t)+sin(2*t);

Пример 5. Численно решите дифференциальное уравнение второго порядка .

При этом необходимо преобразовать дифференциальное уравнение второго порядка в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка (переход к переменным состояния). Для этого введем так называемые переменные состояния :

Тогда можно записать:

Однако, поскольку в Matlab нумерация индексов массива начинается с 1 (а не с нуля), то систему уравнений необходимо переписать в следующем виде:

tspan=[0 15];

x0=[0 -10];

[T,X] = ode45('fun_08_2',tspan,x0);

Для наглядного представления результата строится график зависимостей столбцов возвращенной матрицы решений X, от вектора Т:

figure

plot(T,X(:,1),'b',T,X(:,2),'g')

grid on

Содержание файла-функции fun_08_2:

function dx = fun_08_2(t,x)

m=0.5;

H=0.5;

k=1;

dx = zeros(2,1); % создает нулевой вектор-столбец, где будут храниться полученные на данном этапе значения переменных состояния

dx(1)=x(2);

dx(2)=(-H*x(2)-k*x(1)-sqrt(t))/m;

Пример 6. Решить систему дифференциальных уравнений: с начальными условиями

Для моделирования данной системы, создаем функцию rigid, следующего содержания:

function dy=rigid(t,y)

dy=zeros(3,1);

dy(1)=y(2)*y(3);

dy(2)=-y(1)*y(3);

dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);

Решение находится на интервале [0; 12] с начальными условиями [0 1 1]:

[T,Y] = ode45(‘rigid’,[0 12],[0 1 1]);

plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.')

13

Соседние файлы в папке Matlab