Ekonomiko-matematicheskoe_modelirovanie_v_servise / курс лекций по ЭММ / лекции ЭММ!!!

51

Z(X ) =18850x1 +18450x2 +18050x3 ® min

и выполняются следующие ограничения:

ì2x1 + x2 ³ 300

ïíx1 + 2x2 + 3x3 ³ 400

ïîx1 ³ 0, x2 ³ 0, x3 ³ 0.

Общая постановка задачи о раскрое одного материала

На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в ко- личестве a единиц. Требуется изготовить из него l разных комплектующих из- делий в количествах, пропорциональных b1,b2 ,...,bl (условие комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, причем использование i -го способа (i =1,2,...,n) дает aik единиц k -го изделия

(k = 1, 2,...,l).

Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим xi - число единиц материала, раскраиваемых i -м способом, и x - число изготавли- ваемых комплектов изделий.

Так как общее количество материала равно сумме его единиц, раскраи- ваемых различными способами, то

X = (x1, x2 ,..., xn ) , удовлетворяющее системе уравнений (2.18) и (2.19) и условию (2.20), при котором функция Z(X ) = x принимает максимальное значение.

52

Общая постановка задачи о раскрое нескольких материалов

Задачу о раскрое можно легко обобщить на случай m раскраиваемых ма- териалов. Пусть каждая единица j -го материала ( j = 1, 2,...,m) может быть рас-

собом. Экономико-математическая модель задачи о раскрое в общей постанов-

53

Глава 3. Способы решения задачи линейного программирования

В данной главе на примере решения простой задачи производственного планирования рассмотрены следующие два способа решения ЗЛП: графический и симплекс-метод.

Экономико-математическая модель задачи производственного планирования

на выпуск единицы j -го вида продукции, которое обозначим через aij . Кроме того, известна прибыль от реализации единицы каждого из j видов выпущен- ной продукции, которую обозначим через cj .

С учетом введенных обозначений экономико-математическая модель за- дачи формирования производственного плана, обеспечивающего получение максимальной прибыли, может быть представлена следующим образом: найти

при которых целевая функция задачи (прибыль от реализации произведенной продукции) принимает максимальное значение

Как отмечалось выше, данная задача относится к ЗЛП, поскольку и целе- вая функция, и ограничения являются линейными.

54

Выражения (3.1) и (3.2) можно записать в краткой форме

С = (с1 с2 ... cn ) - вектор стоимости.

Разновидностью матричной формы записи математической модели зада- чи является векторная форма [20]

т.е. число, равное сумме произведений соответствующих координат этих век- торов: CX = c1x1 + c2 x2 + ...+ cj xj + ...+ cn xn (по определению); векторы

55

состоят соответственно из коэффициентов при переменных и свободных чле- нов.

Пример построения экономико-математической модели задачи производственного планирования

Задача № 10. Предприятие производит два вида продукции P1 и P2 , ис- пользуя для этого три вида сырья: S1 , S2 , S3 . Нормы расхода сырья каждого вида приведены в табл. 8. Найти такой план выпуска продукции, при котором прибыль от ее реализации является максимальной.

Экономико-математическую модель данной задачи можно записать сле-

дующим образом: определить объемы производства продукции P1 и P2 , при

где x1 и x2 - количество единиц продукции P1 и P2 .

Так как в математической модели задачи использованы только две пере- менные x1 и x2 , ее можно решить графически.

56

Графический способ решения ЗЛП

Графический (геометрический) способ решения ЗЛП обычно предполага- ет последовательное выполнение следующих действий:

1.Запись математических выражений, представляющих целевую функ- цию и ограничения, в виде равенств (уравнений).

2.Построение на графике прямых для уравнений, соответствующих огра- ничениям.

3.Определение области допустимых решений (ОДР) для задачи.

4.Построение на графике прямой, соответствующей целевой функции.

5.Параллельный перенос (перемещение) прямой, построенной для целе- вой функции, в одну из крайних точек ОДР для получения оптимально- го решения.

Пример решения задачи производственного планирования графическим методом

Решим задачу производственного планирования, рассмотренную выше, графическим способом. Вначале определим ОДР, в которой одновременно вы- полняются все ограничения, представленные в модели задачи. Для этого пред- ставим каждое из ограничений (3.13)−(3.17) в виде равенства (уравнения) и по- лучим для них по паре точек, через которые проведем на графике отрезки пря- мых.

57

Таким образом, ОДР задачи представляет собой выпуклый пятиугольник ABCDE, показанный на рис. 7.

Рис. 7. Графический способ решения ЗЛП

В качестве уравнения для целевой функции можно использовать выраже- ние 3x1 + 4x2 = 12, правая часть которого равняется произведению коэффициен- тов при неизвестных. Полагая x1 = 0 , получим x2 = 3. Аналогично, при x2 = 0 , получим x1 = 4 . Следовательно, прямая для целевой функции проходит через пару точек с координатами (0; 3) и (4; 0). На рисунке эта прямая обозначена пунктиром.

Направление параллельного переноса прямой, представляющей целевую функцию, определяется вычислением градиента функции Z :

показывающего направление наискорейшего возрастания функции. Вектор, на- чало которого совпадает с началом системы координат, а конец имеет коорди-

58

наты (3; 4), задает направление переноса. Имеется строгое математическое до- казательство того, что оптимальное решение задачи находится в одной из угло- вых (крайних) точек ОДР (см., например, теорему 3.3 в [9]). Перемещая прямую для целевой функции параллельно самой себе в направлении, заданном векто- ром-градиентом, получим, что такой точкой является вершина пятиугольника C, имеющая координаты (3; 2). Таким образом, оптимальный план для данной задачи составит 3 единицы продукции P1 и 2 единицы продукции P2 , от реали- зации которых предприятие получит максимум прибыли, равный 17 денежным единицам.

Анализ чувствительности модели задачи производственного планирования

После того, как найдено оптимальное решение задачи производственного планирования, можно выполнить анализ его чувствительности к изменениям исходных данных модели. В частности, целесообразно выяснить следующее

[16]:

1.На сколько можно увеличить запас некоторого вида сырья для улучше- ния полученного оптимального плана?

2.На сколько можно снизить запас некоторого вида сырья при сохране- нии полученного оптимального плана?

3.Увеличение запасов какого вида сырья наиболее выгодно?

4.Каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменение оптимального реше- ния?

Прежде всего выполним классификацию ограничений, разделив их на

активные (или связывающие) и неактивные (или несвязывающие). Активные ограничения соответствуют прямым, проходящим через точку, представляю- щую оптимальное решение (на рис. 8 это вершина C пятиугольника ABCDE). Неактивные ограничения соответствуют прямым, которые ограничивают ОДР, но не проходят через точку оптимального решения.

В данном случае активными являются 1-е и 3-е ограничения, поскольку соответствующие им прямые проходят через точку, координаты которой и дают оптимальный производственный план. Активные ограничения лимитируют за- пасы сырья S1 и S3 , которые логично отнести к разряду дефицитных, тогда как

59

неактивное 2-е ограничение ассоциируется с видом сырья S2 , запас которого имеется в некотором избытке, т.е. оно является недефицитным.

Рис. 8. Анализ чувствительности модели задачи

Вначале рассмотрим влияние увеличения запасов сырья S1 (1-е ограниче- ние) на улучшение полученного оптимального плана. Из рисунка видно, что при увеличении запаса этого вида сырья соответствующая прямая (в частности, отрезок СD) перемещается вверх параллельно самой себе, постепенно стягивая в точку треугольник CKD. В точке K, соответствующей оптимальному реше- нию, активными являются 2-е и 3-е ограничения, а 1-е ограничение становится неактивным. Поэтому запас сырья S1 не следует увеличивать сверх того преде- ла, когда ограничение становится неактивным. Это предельное значение рас- считывается путем подстановки координат точки K(11/3; 5/3) в левую часть 1-го ограничения:

1×113 +1× 53 = 163 ,

60

Z (K ) = 3×113 + 4 × 53 = 533 .

Аналогично рассматривается вопрос о целесообразности увеличения де- фицитного сырья S3 . Из рисунка видно, что при увеличении этого вида сырья соответствующая прямая (в частности отрезок BC), перемещается вверх парал- лельно самой себе. В точке L 3-е ограничение становится неактивным, поэтому объем сырья S3 не следует увеличивать сверх этого предела. Это предельное значение рассчитывается путем подстановки координат точки L(0; 5) в левую часть 3-го ограничения:

1×0 + 2 ×5 =10,

Z (L) = 3× 0 + 4 ×5 = 20 .

Таким образом, предельные запасы для сырья S1 и S3 составляют соот-

ветственно 513 и 10 единиц соответственно. Дальнейшее повышение этих запа-

сов нецелесообразно, поскольку не приведет к улучшению оптимального реше- ния задачи.

Рассмотрим теперь вопрос об уменьшении запаса недефицитного сырья S2 (2-е ограничение). Из рисунка видно, что, не изменяя оптимального реше- ния, соответствующую прямую (в частности, отрезок KE) можно перемещать параллельно самой себе до пересечения с точкой C. Уменьшение запасов сырья S2 до величины 2 ×3 +1× 2 = 8 никак не повлияет на оптимальность полученного ранее решения.

Результаты проведенного анализа представлены в табл. 9 [16].

Для ответа на третий вопрос введем характеристики ценности каждой до- полнительной единицы сырья. Обозначим ценность дополнительной единицы i -го вида сырья через Yi , где