Ekonomiko-matematicheskoe_modelirovanie_v_servise / курс лекций по ЭММ / лекции ЭММ!!!

32

Глава 2. Задачи линейного программирования в экономике

Линейные модели являются одним из наиболее простых и часто исполь- зуемых классов математических моделей, используемых в экономике. Они изу- чаются в рамках линейного программирования − одного из наиболее ранних и проработанных разделов исследования операций.

Линейное программирование (англ. linear programming) − это набор ма-

тематических методов и приемов решения задачи оптимального распределения имеющихся ограниченных ресурсов (денег, материалов, времени и т.п.) для достижения определенной цели (максимума прибыли или минимума издержек).

Появление линейного программирования обычно связывают с именем американского математика Джорджа Данцига, который в 1947 году применил методы линейной алгебры для определения оптимальных решений задач, со- держащих определенные ограничения.

Другим основоположником линейного программирования по праву явля- ется советский математик, академик Леонид Витальевич Канторович (19121986), которому в 1975 году была присуждена Нобелевская премия по эконо- мике (совместно с американским экономистом Т. Купмансом) за вклад в разви- тие теории оптимального распределения ресурсов. В 1939 году Л.В. Канторо- вич опубликовал научную работу, в которой на основе метода разрешающих множителей (мультипликаторов) исследовались различные классы планово- производственных задач, давалась математическая постановка производствен-

ных задач оптимального планирования и предлагались эффективные методы решения и приемы экономического анализа этих задач. В данной работе, кото- рая стала известна в США лишь в 1959 году, было показано, что все экономи- ческие проблемы распределения могут рассматриваться как задачи максимиза- ции при многочисленных ограничениях и, следовательно, могут быть решены при помощи методов линейного программирования.

Термин «линейное программирование» нуждается в кратком коммента- рии. В данном случае слово «программирование» означает планирование, а слово «линейное» − поиск экстремума (минимума или максимума) линейной целевой функции при линейных ограничениях, представленных системой ли- нейных уравнений или неравенств. Вот что по этому поводу вспоминает нобе- левский лауреат Дж. Данциг: «Военные называли программами свои различные

33

планы и предлагаемые расписания для подготовки, тылового снабжения и пе- ремещения боевых частей. Когда я впервые проанализировал задачу планиро- вания для ВВС и увидел, что она может быть сформулирована как система ли- нейных неравенств, то назвал свою первую статью «Программирование с ли- нейной структурой». Однажды летом 1948 г. Купманс, прогуливаясь со мной по пляжу городка Санта-Моника, предложил сократить этот термин до «линейного программирования» и я согласился» [14].

Имеется целый ряд различных методов линейного программирования; одни из них являются специализированными или узконаправленными (т.е. предназначены для решения определенного класса задач), другие имеют общий характер. Наиболее распространенным методом решения задач линейного про- граммирования является так называемый симплекс-метод, разработанный Дж. Данцигом, а наиболее эффективным из известных − метод эллипсоидов. В простейшем случае, когда число переменных равно двум, удобен простой и на-

глядный графический способ.

Другой важный класс линейных задач образуют задачи, сводимые к сис- темам линейных уравнений, − это линейные задачи, ограничения в которых имеют характер равенств. Как известно, одним из наиболее простых и одно-

временно эффективных подходов к решению линейных систем является метод последовательного исключения неизвестных.

Эффективное применение линейного программирования достигается при решении следующих общих классов задач [15]:

−задачи о составлении смеси, цель которых заключается в выборе наиболее экономичной смеси ингредиентов, т.е. составляющих (руды, нефти, пищевых продуктов и др.) при учете ограничений на физический или химиче- ский состав смеси и на наличие необходимых материалов;

−задачи планирования производства, цель которых подбор наиболее

выгодной производственной программы выпуска одного или нескольких видов продукции при использовании некоторого числа ограниченных источников сы- рья;

−задачи распределения товаров, цель которых состоит в том, чтобы

организовать доставку товаров от некоторого числа поставщиков к некоторому числу потребителей так, чтобы оказались минимальными либо расходы по этой доставке, либо время, либо некоторая комбинация того и другого. В простей- шем случае это задача о перевозках (транспортная задача).

34

Рассматриваются и комбинированные задачи (например, в случае, когда какой-то товар производится в разных местах, задачи производства и распреде- ления объединяют в единую модель).

Задачи о составлении смеси

Исторически задача о составлении смеси (диеты, рациона) является одной из первых ЗЛП. Ниже рассмотрено построение экономико-математических мо- делей для нескольких задач, относящихся к данному классу [9, 16]. Цены, зара- ботная плата и некоторые другие количественные величины, представленные в задачах, которые приведены ниже, выбраны достаточно условно и не отражают их нынешнего фактического состояния.

Задача № 1. Металлургическому комбинату требуется уголь с содер- жанием фосфора не более 0,03 % и с долей зольных примесей не более 3,25 %. Комбинат закупает три сорта угля, условно обозначенных A, B и С, с извест- ным содержанием примесей. В какой пропорции нужно смешивать сорта угля A, B и C, чтобы полученная смесь удовлетворяла ограничениям на содержание примесей и имела минимальную цену?

Содержание примесей и цена каждого сорта угля приведены в табл. 2. Таблица 2

Решение. Построим экономико-математическую модель задачи. Обозна- чим x1 − количество угля сорта A в тонне смеси, x2 − количество угля сорта B в тонне смеси, x3 − количество угля сорта С в тонне смеси.

Стоимость 1 т смеси (целевая функция) с учетом введенных обозначений и данных графы «Цена 1 т, р.» запишется в следующем виде:

Z = 30x1 + 30x2 + 45x3 .

Ограничение на содержание фосфора в смеси запишется в виде

0,06x1 + 0,04x2 + 0,02x3 ≤ 0,03 (%).

Ограничение на содержание зольных примесей в смеси запишется в виде

35

2x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 3,25 (%).

Ограничение на состав 1 т смеси запишется в виде x1 + x2 + x3 = 1.

Таким образом, экономико-математическая модель задачи примет сле-

дующий вид: определить количества x1, x2, x3 угля сортов A, B, C, соответ- ственно, в тонне смеси, при которых достигается минимум целевой функции:

Z(X ) = 30x1 + 30x2 + 45x3 ® min

при ограничениях

ì0,06x1 + 0,04x2 + 0,02x3 £ 0,03 ïï2x1 + 4x2 + 3x3 £ 3,25

íïx1 + x2 + x3 =1

ïîx1 ³ 0, x2 ³ 0, x3 ³ 0.

Задача № 2. Рацион для питания животных на ферме состоит из двух ви- дов кормов I и II. Один килограмм корма I вида стоит 80 р. и содержит: 3 ед. белков, 1 ед. жиров, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма II вида стоит 10 р. и содержит: 1 ед. белков, 3 ед. жиров, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов.

Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий белков не менее 9 ед., жиров не менее 6 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не бо- лее 16 ед.

Для удобства представим данные, содержащиеся в условии задачи, в таб- личном виде (табл. 3).

36

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи. Обозна- чим x1, x2 - количество кормов видов I и II, входящих в рацион питания. Тогда общая стоимость рациона (целевая функция) запишется в виде

Z = 80x1 +10x2 .

C учетом того, что количество единиц питательных веществ, входящих в рацион кормления, не должно быть меньше (больше) указанного минимума (максимума), ограничения запишутся в виде следующих неравенств:

3x1 +x2 ³ 9 - для белков, x1 + 3x2 ³ 6 - для жиров,

x1 + 8x2³ 8 - для углеводов, 2x1 + 4x2 £16 - для нитратов.

Кроме того, по смыслу задачи должно выполняться условие x1 ³ 0, x2 ³ 0.

Таким образом, экономико-математическая модель задачи примет сле-

дующий вид: составить рацион питания, при котором достигается минимум целевой функции:

Z(X ) = 80x1 +10x2 ® min

при ограничениях

Задача № 3. В отделе технического контроля (ОТК) предприятия работа- ют контролеры 1-го и 2-го разрядов. Норма выработки ОТК за 8-часовой рабо- чий день составляет не менее 1800 изделий. Контролер 1-го разряда проверяет 25 изделий в час, причем не ошибается в 98 % случаев. Контролер 2-го разряда проверяет 15 изделий в час, его точность составляет 95 %.

Заработная плата контролера 1-го разряда равна 4 р. в час, контролер 2-го разряда получает 3 р. в час. При каждой ошибке контролера предприятие несет убыток в размере 2 р. Предприятие может использовать не более восьми кон- тролеров 1-го и десяти контролеров 2-го разряда. Руководство предприятия хо-

37

чет определить оптимальный состав ОТК, при котором общие затраты на кон- троль будут минимальными.

Решение. Обозначим через x1, x2 - количество контролеров 1-го и 2-го разрядов соответственно. Число контролеров каждого разряда ограничено, т.е. имеются следующие ограничения:

x1 £ 8 (1-й разряд), x2 £10 (2-й разряд).

Ежедневно необходимо проверять не менее 1800 изделий. Поэтому вы-

полняется неравенство

8× 25x1 + 8×15x2 = 200x1 +120x2 ³1800 ,

или

5x1 + 3x2 ³ 45 .

При построении целевой функции следует иметь в виду, что расходы предприятия, связанные с контролем, включают две составляющие:

1)зарплату контролеров,

2)убытки, вызванные ошибками контролеров.

Исходя из этого, расходы на одного контролера 1-го разряда в час составляют

4 р. + 2 р.× 25× 0,02 = 5р.,

а расходы на одного контролера 2-го разряда

3р. + 2 р.×15× 0,05 = 4,5р.

Целевая функция, выражающая ежедневные расходы на контроль, запишется в виде:

8× (5x1 + 4,5x2 ) = 40x1 + 36x2 .

Таким образом, экономико-математическая модель задачи примет сле-

дующий вид: определить количественный состав ОТК, включающего контро- леров 1-го и 2-го разрядов, при котором достигается минимум целевой функ- ции:

Z(X ) = 40x1 + 36x2 ® min

при ограничениях

ìx1 £ 8 ïïx2 £10

íï5x1 + 3x2 ³ 45 ïîx1 ³ 0, x2 ³ 0.

39

Требуемые для выполнения плана материальные ресурсы определяются

как

тов, комплектующих, деталей, узлов, топлива, электроэнергии.

Требуемые для выполнения плана производственные фонды оборудова- ния (в виде затрат машинного времени) определяются как

максимальные обеспеченные уровни, то необходимо пересмотреть (уменьшить) объем конечной продукции yi , определить новые значения или принять меры по увеличению ресурсов.

Если какое-либо из соотношений (2.3)–(2.5) или же все они представлены неравенствами, то решить подобную задачу известными методами линейной алгебры не удастся. В этом случае для решения задачи должны использоваться модели и методы линейного программирования (см. ниже).

Задача № 4. Производственному участку поручено выпускать мебель двух видов, на производство которых выделены необходимые сырьевые и про- изводственные ресурсы (табл. 4).

Найти такой план выпуска продукции, чтобы суммарная прибыль от ее реализации была наибольшей.