2. Уравнения движения, граничные условия, характеристическое уравнение

   1. Волны Рэлея

Рис.6. Твёрдое полупространство

Рассмотрим распространение гармонической (зависимость от времени согласно множителю рэлеевской волны с частотойвдоль плоской границы однородного изотропного идеально упругого полупространства с вакуумом. Пусть полупространство занимает область z > О (рис.6). В общем случае уравнение движения изотропной однородной идеально упругой среды

записывается в следующей форме:

(2)

Здесь U — вектор смещения частиц среды; р — плотность;

и — упругие постоянные (параметры Ламе) среды;

• — оператор Лапласа.

(3)

Представим вектор смещения в виде

где скалярные потенциалы соответственно

(из векторного анализа известно, что такое представление всегда возможно). Подставляя выражение (3) в уравнение (2) и производя некоторые операции , сведем это уравнение к двум независимым уравнениям:

(4)

(5)

Первое из них описывает распространение продольных, второе - поперечных волн. Продольные волны - безвихревые а в поперечных отсутствует объемное сжатие и расширение

Не ограничивая по существу общности задачи, рассмотрим плоскую рэлеевскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х вдоль границы полупространства с вакуумом. В этом случае движение не зависит от координаты у и у векторного потенциала будет отлична от нуля только компонента по оси у. Эту компоненту обозначим просто через. Для плоской гармонической волны уравнения движения (4), и (5) будут удовлетворены, если потенциалыиявляются решениями двух волновых уравнений вида:

(6)

(7)

Здесь - волновые числа соответственно продольных и поперечных волн.

Будем искать решения уравнений (6), (7), соответствующие плоской поверхностной волне. Для этого положим, что

И подставим в уравнения (6) и (7). Получим два линейных дифференциальных уравнения для функций и

(8)

Двумя линейно независимыми решениями каждого из написанных уравнений будут являться функции иАприори предположим, что

Тогда решения с положительными радикалами в экспоненте будут соответствовать нарастающему с глубиной движению, а решения с отрицательными радикалами — экспоненциально убывающему, т. е. поверхностной волне. Таким образом, выражения для иприобретают вид:

(9)

- произвольные постоянные

Согласно соотношению (3) компоненты смещения частиц в волне по осям х и z выражаются через потенциалы иследующим образом:

(10)

Используя линейную связь между тензором деформаций и тензором напряжений (закон Гука) в упругой среде и соотношения (10), можно представить через ии компонентытензора напряжений:

(11)

На границе z = 0 полупространства с вакуумом напряжения идолжны обращаться в нуль. Подставляя выражения дляив эти условия, получим систему линейных однородных уравнений относительно, произвольных постоянных А и В:

(12)

Условием существования нетривиального решения этой системы является равенство нулю ее определителя F (к). Это дает следующее характеристическое уравнение для нахождения волнового числа k:

(13)

(14)

Это уравнение называют уравнением Рэлея. Часто уравнение (13) записывают в полиномной форме:

Здесь введены обозначения:

-фазовые скорости продольных и поперечных волн соответственно. Всегда, однако, следует помнить, что уравнение (14)—.производное и, в частности, может содержать лишние корни по сравнению с исходным уравнением Рэлея (13).