24

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «Тверской государственный университет»

Факультет прикладной математики и кибернетики

Кафедра математического моделирования

Курсовая работа по теме

« Построение математических моделей поверхностных акустических волн в упругих средах»

Выполнил:

студентка 1-го курса магистратуры,

Худнева Е. С.

Проверил:

доктор ф.-м. наук

Кудинов А.Н.

Оценка ____

Тверь 2014

Оглавление

Введение 3

1. Теоретические основы построения математических моделей поверхностных акустических волн в упругих средах 4

   1. Основные понятия 4

   2. Частные случаи поверхностных акустических волн 6

2. Уравнения движения, граничные условия, характеристическое уравнение 11

   1. Волны Рэлея 11

   2. Волны Лява 15

   3. Волны Стоунли 16

3. Практическое использование 21

Заключение 22

Список литературы 23

Введение

В современной акустике, наряду с традиционными областями — музыкальной и архитектурной акустикой, электроакустикой, теорией дифракции звука и т.д., быстро развиваются новые направления: биоакустика, гидроакустика, учение о гиперзвуке, ультразвуковая технология и многие и многие другие. Разнообразие явлений, с которыми приходится встречаться во всех этих областях акустики, очень велико; несмотря на это, в их основе лежат закономерности, общие для любых упругих волн. Поэтому возможен единый подход к изучению поведения упругих волн, как бы ни различались изучаемые явления. Для удобства изучения и прогнозирования поведения, в том числе и поверхностных акустических волн (ПАВ) в упругих средах, необходимо строить математические модели.

Цель работы: изучить основные аспекты построения математических моделей поверхностных акустических волн в упругих средах.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Изучить теоретические основы построения математических моделей поверхностных акустических волн в упругих средах;

• Рассмотреть Уравнения движения, граничные условия, характеристическое уравнение для трёх наиболее часто встречающихся видов ПАВ;

• Ознакомиться с практическим применением математических моделей поверхностных акустических волн в упругих средах.

1. Теоретические основы построения математических моделей поверхностных акустических волн в упругих средах

   1. Основные понятия

Для построения математических моделей поверхностных акустических волн в упругих средах необходимо ознакомится с основными понятиями в данной области.

Среда называется упругой, или линейной, если её деформация пропорциональна приложенной.

Упругими, или механическими волнами называются механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругих средах.

Звуковые  или акустические  волны  — это  волны, которые  распространяются в упругой среде, характеризующиеся  слабыми возмущениями. Это механические колебания с малыми амплитудами. Отсюда следует, что акустические волны являются упругими.

Наиболее распространёнными типами упругих волн в твёрдых телах являются:

• продольные волны — волны с колебанием частиц вдоль направления распространения волны;

• поперечные волны — волны с колебанием частиц перпендикулярно направлению распространения волны;

• поверхностные волны (например, волны Рэлея) — волны с колебанием частиц по эллипсам вдоль поверхности тела;

• волны Лэмба — волны в тонких пластинах;

• изгибные волны — распространение колебаний деформации изгиба в стержнях или пластинах, длина волны которых много больше толщины стержня или пластины.

При распространении акустической волны можно наблюдать следующие явления:

Резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний.

Интерференция – сложение в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором образуется постоянное во времени распределение амплитуды результирующих колебаний в различных точках пространства.

Дифракция – отклонение от прямолинейного распространения волн, огибание волнами препятствий.

Угол отражения волны от поверхности равен углу падения (согласно принципу Гюйгенса).

Поверхностные акустические волны (ПАВ) — упругие волны, распространяющиеся вдоль поверхности твёрдого тела или вдоль границы с другими средами. ПАВ подразделяются на два типа: с вертикальной поляризацией и с горизонтальной поляризацией (волны Лява).

Возникновение и распространение акустических волн связано с упругими свойствами сред. Все реальные тела деформируемые. В случае твердых тел существует два предельных случая: деформации упругие и деформации пластические. Пределом упругости называют силу, до которой деформация будет упругой. Для идеально упругих тел между действующими сипами и деформациями существует однозначная связь, описываемая законом Гука: F=kx.

Существует широкий класс твердых тел, для которых при малых деформациях этот закон приближенно справедлив. Существуют изотропные и анизотропные тела. Одно и то же тело может вести себя как изотропное по отношению к одним телам и воздействиям, и как анизотропное – по отношению к другим. По отношению к взаимодействиям, связанным с упругими свойствами все монокристаллические тела ведут себя как анизотропные.