уч.пос

ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

К.П. Исаев, О.А. Кривошеева, Р.С. Юлмухаметов

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 2

Учебное пособие

Уфа РИЦ БащГУ

2014

УДК 510.22

ББК 22.1

В учебно-методическом пособии «Дискретная математика.

Часть 2» изложена часть материала, предусмотренного Государствен-

ным стандартом по дисциплинам «Дискретная математика» и «Дискрет-

ная математика и математическая логика» по направлениям «Приклад-

ная математика и информатика», «Математика» и «Прикладная инфор-

матика». Пособие включает следующие разделы дисциплины: 1) исчис-

ление высказываний; 2) булевы функции; 3) исчисление предикатов.По данным разделам приведены основные теоретические сведения, разбор типовых задач, тестовые задания и варианты контрольных работ для самостоятельного решения с целью закрепления пройденного материа-

ла.

2

СОДЕРЖАНИЕ

1. Исчисление высказываний.

Теоретические сведения…………………………………..………………4 Разбор типовых задач……………………………………………………..7 2. Булевы функции.

Теоретические сведения…………………….…………..………………..13 Разбор типовых задач………………………………….…………………14 3. Исчисление предикатов.

Теоретические сведения………………………….………………………21 Разбор типовых задач…………………………….………………………24 4. Задачи для самостоятельного решения.

Задача №1………………………………………………………………….30 Задача №2……………………………………………….…………………31 Задача №3………………………………………………………………….32 Задача №4………………………….………………………………………34

Задача №5………………………………………………………………….38 Задача №6……………...…………………………………………………..46 Задача №7……………………….…………………………………………54 Задача №8………………………………………………………………….55 Задача №9…………………...……………………………………………..56 Задача №10………………..……………………………………………….58 Задача №11………………..……………………………………………….59

Задача №12…………………..…………………………………………….61

Задача №13………………….……………………………………………..68 Задача №14………………………..……………………………………….70

Задача №15…………………………………………...……………………71

5. Типовые варианты контрольных работ…...…………………………..75

3

Разбор типового варианта.

1. Исчисление высказываний.

Теоретические сведения:

Отрицанием высказывания будем называть новое высказывание или , истинностные значения которого определяются по таблице

И Л Л И

Конъюнкцией высказываний и будем называть новое высказывание или , истинностные значения которого определяются по табли-

це

высказывание, истинностные значения которого определяются по таблице

Импликацией высказываний и будем называть новое высказывание , истинностные значения которого определяются по таблице

ИИ И

Эквиваленцией высказываний и будем называть новое высказывание , истинностные значения которого определяются по таблице

4

Сложением по модулю 2 высказываний и будем называть новое высказывание, истинностные значения которого определяются по таблице

1)Буквы возможно с индексами: ;

2)Если - пропозициональные формы, то пропозициональными формами являются также, , ,

3)Других пропозициональных форм нет.

Для экономного использования скобок определим следующий порядок операций: , , , , .

Пропозициональная форма называется тавтологией, если она принимает значение И при любых наборах значений входящих в нее букв.

Две пропозициональные формы называются эквивалентными, если их эквиваленция является тавтологией.

Пропозициональная форма называется противоречием, если она принимает значение Л при любых наборах значений входящих в нее букв. Пропозициональная форма называется логическим следствием пропозициональной формы , если форма является тавтологией. Вместо значений Ии Л можно использовать 1 и 0.

5

означает, что пропозициональная форма при данном распределении истинностных значений входящих в нее букв принимает значение И.

означает, что пропозициональная форма при данном распределении истинностных значений входящих в нее букв принимает

Пропозициональная форма называется элементарной конъюнкцией (элементарной дизъюнкцией), если она является конъюнкцией (дизъюнкцией) пропозициональных букв и отрицаний пропозициональных букв.

Говорят, что пропозициональная форма находится в дизъюнктной нормальной форме (ДНФ), если она является дизъюнкцией элементарных конъюнкций.

Говорят, что пропозициональная форма находится в конъюнктной нормальной форме (КНФ), если она является конъюнкцией элементарных дизъюнкций.

6

Говорят, что пропозициональная форма , в которую входят буквы находится в совершенной дизъюнктной нормальной форме

(СДНФ) (совершенной конъюнктной нормальной форме (СКНФ)), если выполнены следующие условия:

1)форма находится в ДНФ (КНФ);

2)каждый дизъюнктный (конъюнктный) член формы является эле-

ментарной конъюнкцией (дизъюнкцией) вида … (… ), где есть либо буква , либо отрицание ;

3)все дизъюнктные (конъюнктные) члены различны.

Теорема 1.Пусть – пропозициональная форма, в которую входят буквы и эта форма не является противоречием. Тогда существует пропозициональная форма с теми же буквами, находящаяся в СДНФ и логически эквивалентная форме Форма единственна с точностью до расположения дизъюнктных членов.

Теорема 2.Пусть – пропозициональная форма, в которую входят буквы и эта форма не является тавтологией. Тогда существует пропозициональная форма с теми же буквами, находящаяся в СКНФ и логически эквивалентная форме Форма единственна с точностью до расположения конъюнктных членов.

Задача №1.Определите логическое значение последнего высказывания, исходя из логических значений всех предыдущих высказываний:

λ(A, λ(A, λ(B?

Варианты ответов:

; б) 1;

в)не достаточно сведений для определения значений.

Решение:

(AТаккак λ(A и λ(A, то

λ(B

Ответ: а).

7

Задача №2.Проверить, является ли данная пропорциональная форма тавтологией, противоречием?

Пропорциональная форма принимает значение И при любых наборах значений входящих в нее букв. Это тавтология.

Ответ: а).

8

Задача №3.Для пропозициональных форм и выберите верное утверждение:

=(P

Решение:

Заполним таблицу истинности:

P

Ни , ни не являются тавтологиями. Значит, не является логическим следствием , и не является логическим следствием .

Ответ: г)

9

Задача №4. Для приведенных ниже рассуждений выберите правильный ответ:

а) да;

б) нет.

Если я поеду автобусом (А), а автобус опоздает (В), то я пропущу назначенное свидание (С). Если я пропущу назначенное свидание и начну огорчаться (D), то мне не следует ехать домой (Е). Если я не получу эту работу (Р), то я начну огорчаться и мне следует поехать домой. Следует ли тогда, что если я поеду домой автобусом и автобус опоздает, то я получу эту работу?

Решение:

Составим пропозициональную форму, соответствующую данным рассуждениям:

Попробуем подобрать такие истинностные значения входящих в форму букв, чтобы она принимала значение 0. Для этого выражение, стоящее в первых квадратных скобках, должно быть истинным, а выражение, стоящее во вторых квадратных скобках, должно быть ложным. Значит,

1)

2)

3)=1;

4)=0.

Из 4) следует, что Тогда из 1) следует, что , из 3) следует, что

Тогда , что противоречит 2). Поэтому форма не может принимать значение 0, то есть является тавтологией. Значит, приведенные рассуждения являются верными.

Ответ: а).

10